Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: determinar o domínio natural e a imagem da função
de forma algébrica. Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de funções racionais e manipulação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função consiste em todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, o denominador não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero não é definida.
A função dada é
. Para garantir que o denominador não seja zero:
Resolvendo essa inequação:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem consiste em todos os valores que
pode assumir.
Começamos definindo
:
Para encontrar os possíveis valores de
, resolvemos a equação para
:
Nesse caso, devemos garantir que
esteja definido, ou seja,
. Se
, a equação
não faria sentido, pois não podemos dividir por zero.
Portanto, a imagem da função é todos os números reais exceto
.
Resposta
Domínio:
Imagem: