Determine o domínio natural e a imagem da função algebricamente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: determinar o domínio natural e a imagem da função de forma algébrica. Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de funções racionais e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função consiste em todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, o denominador não pode ser igual a zero, pois a divisão por zero não é definida.
A função dada é . Para garantir que o denominador não seja zero:
Resolvendo essa inequação:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem consiste em todos os valores que pode assumir.
Começamos definindo :
Para encontrar os possíveis valores de , resolvemos a equação para :
Nesse caso, devemos garantir que esteja definido, ou seja, . Se , a equação não faria sentido, pois não podemos dividir por zero.
Portanto, a imagem da função é todos os números reais exceto .

Resposta

Domínio:
Imagem:

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