Calcule domínio, imagem, período, intervalos de positividade, e esboce o gráfico:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e precisamos encontrar:
  1. Domínio: onde a função está definida.
  2. Imagem: os possíveis valores que a função pode assumir.
  3. Período: quanto tempo leva para a função se repetir.
  4. Intervalos de positividade: onde a função é positiva.
  5. Esboço do gráfico: desenhar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções trigonométricas, especialmente da função seno.

Passo 2

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função seno, , está definida para todos os números reais, e subtrair 1 não muda isso. Então, o domínio de é:
íú

Passo 3

Imagem: A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que varia entre -1 e 1. Então:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Portanto, a imagem de é:

Passo 4

Período: O período de uma função seno padrão, , é . Quando temos , o coeficiente dentro da função afeta o período. A fórmula para o período é:
í
Então, o período de é 2 unidades.

Passo 5

Intervalos de positividade: Queremos saber para quais valores de , é maior que zero:
Mas sabemos que o seno nunca é maior que 1. Portanto, não há nenhum valor de que faça ser positivo.
ã

Passo 6

Esboço do gráfico: Vamos desenhar o gráfico de :
  1. Forma básica: O gráfico da função seno oscila entre -1 e 1. Subtrair 1 baixa todo o gráfico em 1 unidade, fazendo com que agora oscile entre -2 e 0.
  2. Período: Como o período é 2, o gráfico completa uma oscilação completa a cada 2 unidades de .
  3. Pontos-chave:
    • Em :
    • Em :
    • Em :
    • E assim por diante, repetindo a cada 2 unidades.
  4. Comportamento: O gráfico será uma onda senoidal invertida, oscilando entre -2 e 0, sem cruzar a linha positiva (já que não há intervalos de positividade).

Resposta

ííáí

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