Calcule domínio, imagem, período, intervalos de positividade, e esboce o gráfico:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos encontrar:
- Domínio: onde a função está definida.
- Imagem: os possíveis valores que a função pode assumir.
- Período: quanto tempo leva para a função se repetir.
- Intervalos de positividade: onde a função é positiva.
- Esboço do gráfico: desenhar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções trigonométricas, especialmente da função seno.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função seno,
, está definida para todos os números reais, e subtrair 1 não muda isso. Então, o domínio de
é:
Passo 3
Imagem: A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que
varia entre -1 e 1. Então:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Portanto, a imagem de
é:
Passo 4
Período: O período de uma função seno padrão,
, é
. Quando temos
, o coeficiente
dentro da função afeta o período. A fórmula para o período é:
Então, o período de
é 2 unidades.
Passo 5
Intervalos de positividade: Queremos saber para quais valores de
,
é maior que zero:
Mas sabemos que o seno nunca é maior que 1. Portanto, não há nenhum valor de
que faça
ser positivo.
Passo 6
Esboço do gráfico: Vamos desenhar o gráfico de
:
-
Forma básica: O gráfico da função seno oscila entre -1 e 1. Subtrair 1 baixa todo o gráfico em 1 unidade, fazendo com que agora oscile entre -2 e 0.
-
Período: Como o período é 2, o gráfico completa uma oscilação completa a cada 2 unidades de
. -
Pontos-chave:
- Em
: - Em
: - Em
: - E assim por diante, repetindo a cada 2 unidades.
- Em
-
Comportamento: O gráfico será uma onda senoidal invertida, oscilando entre -2 e 0, sem cruzar a linha positiva (já que não há intervalos de positividade).
Resposta
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