Calcule o efeito da massa
da polia, de raio
, sobre o sistema do Cap. 4, Probl. 12 (fig.): a massa
, que desliza sem atrito, está ligada à massa suspensa
pelo fio que passa sobre a polia. Determine (a) a aceleração a do sistema;
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma polia com massa
e raio
. Uma massa
desliza sem atrito em uma superfície e está ligada a uma massa suspensa
por um fio que passa sobre a polia. Nosso objetivo é determinar a aceleração
do sistema. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de Newton para movimento rotacional e translacional, considerando o momento de inércia da polia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada massa. Na massa
que desliza, temos a força de tração
no fio puxando-a. Na massa suspensa
, temos a força de peso
puxando para baixo e a tração
puxando para cima.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a massa
:
Aqui,
é a força responsável por acelerar a massa
com aceleração
.
Passo 4
Para a massa
, aplicamos a segunda lei de Newton considerando as forças que atuam nela:
Essa equação mostra que a diferença entre o peso da massa
e a tração
resulta na aceleração
.
Passo 5
Agora, vamos considerar a rotação da polia. A força resultante que causa a rotação é a diferença entre as duas trações
e
. A segunda lei de Newton para rotação nos dá:
Onde
é o momento de inércia da polia e
é a aceleração angular. Como
para uma polia circular, e
, podemos substituir:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
. Primeiro, da equação 3, expressamos
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação 2:
Somando
em ambos os lados:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A aceleração do sistema é: