Calcule o efeito da massa M da polia, de raio R, sobre o sistema do Cap. 4, Probl. 12 (fig.): a massa m, que desliza sem atrito, está ligada à massa suspensa m^prime pelo fio que passa sobre a polia. Determine (a) a aceleração a do sistema;

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma polia com massa e raio . Uma massa desliza sem atrito em uma superfície e está ligada a uma massa suspensa por um fio que passa sobre a polia. Nosso objetivo é determinar a aceleração do sistema. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as leis de Newton para movimento rotacional e translacional, considerando o momento de inércia da polia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada massa. Na massa que desliza, temos a força de tração no fio puxando-a. Na massa suspensa , temos a força de peso puxando para baixo e a tração puxando para cima.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a massa T1 = m cdot a :
Aqui, é a força responsável por acelerar a massa com aceleração .

Passo 4

Para a massa m'g - T2 = m' cdot a , aplicamos a segunda lei de Newton considerando as forças que atuam nela:
Essa equação mostra que a diferença entre o peso da massa e a tração resulta na aceleração .

Passo 5

Agora, vamos considerar a rotação da polia. A força resultante que causa a rotação é a diferença entre as duas trações (T2 - T1) cdot R = I cdot alpha e (T2 - T1) cdot R = 12 M R^2 cdot aR . A segunda lei de Newton para rotação nos dá:
T2 - T1 = 12 M a
Onde é o momento de inércia da polia e é a aceleração angular. Como para uma polia circular, e , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. T2 = T1 + 12 M a
  2. T2 = m cdot a + 12 M a = ( m + 12 M ) a
Vamos resolver esse sistema para encontrar . Primeiro, da equação 3, expressamos :
Substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos m'g - ( m + 12 M ) a = m' cdot a na equação 2:
m'g = (m' + m + 12 M) a
Somando em ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, isolamos a = m'gm' + m + 12 M :

Resposta

A aceleração do sistema é:
a = m'gm' + m + 12 M

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