Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
i) Se a razão entre o período do movimento em r e o período do movimento de revolução for um número inteiro, a órbita será uma curva fechada. Para este caso, mostre que S=tau L / 2 m, onde S é a área da órbita e tau é o período de revolução.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para o centro da trajetória. O exercício quer que a gente mostre que a área da órbita pode ser expressa como , onde é o período de revolução, é o momento angular e é a massa da partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças centrais, momento angular e como relacionar essas grandezas com a área varrida pela partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento central, a força está sempre na direção radial, ou seja, ao longo da linha que conecta a partícula ao ponto central. Isso significa que o torque ( ) em relação ao centro é zero, já que o torque é dado por , e está paralelo a . Sem torque, o momento angular da partícula é constante.

Passo 3

O momento angular pode ser expresso como , onde é a velocidade angular. Como o momento angular é constante, a velocidade angular também é constante. Isso significa que a partícula varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Passo 4

A área varrida pela partícula em um pequeno intervalo de tempo S = integral0^tau 12 r^2 omega dt é dada por . Integrando isso ao longo de um período completo , temos:

Passo 5

Sabemos que S = integral0^tau 12 Lm dt = L2m integral0^tau dt = L2m tau e que . Substituindo na expressão da área:

Resposta

Portanto, a área da órbita é dada por:
S = tau L2m

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