Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
i) Se a razão entre o período do movimento em
e o período do movimento de revolução for um número inteiro, a órbita será uma curva fechada. Para este caso, mostre que
, onde
é a área da órbita e
é o período de revolução.
i) Se a razão entre o período do movimento em
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para o centro da trajetória. O exercício quer que a gente mostre que a área da órbita
pode ser expressa como
, onde
é o período de revolução,
é o momento angular e
é a massa da partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças centrais, momento angular e como relacionar essas grandezas com a área varrida pela partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento central, a força está sempre na direção radial, ou seja, ao longo da linha que conecta a partícula ao ponto central. Isso significa que o torque (
) em relação ao centro é zero, já que o torque é dado por
, e
está paralelo a
. Sem torque, o momento angular
da partícula é constante.
Passo 3
O momento angular
pode ser expresso como
, onde
é a velocidade angular. Como o momento angular é constante, a velocidade angular também é constante. Isso significa que a partícula varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
Passo 4
A área varrida pela partícula em um pequeno intervalo de tempo
é dada por
. Integrando isso ao longo de um período completo
, temos:
Passo 5
Sabemos que
e que
. Substituindo
na expressão da área:
Resposta
Portanto, a área da órbita é dada por: