Um satélite de massa m=10^3 kg está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é R=6,37 times 10^6 m e a massa da Terra é M. Considere que g=G M / R^2=9,81 m / s^2. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
a) Calcule o período que o satélite teria se estivesse em órbita circular a uma distância desprezível h da superfície da Terra - low earth orbit (LEO);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um satélite com massa orbitando a Terra. A Terra tem raio e uma massa desconhecida , mas sabemos que a aceleração da gravidade na superfície é . O exercício pede para calcular o período que esse satélite teria se estivesse em uma órbita circular bem baixa, ou seja, logo acima da superfície da Terra (Low Earth Orbit - LEO). Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a Lei da Gravitação Universal de Newton e a fórmula para o período de uma órbita circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para um satélite estar em órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo nessa órbita deve ser igual à força gravitacional que a Terra exerce sobre ele. A força centrípeta ( Fc = m v^2r ) é dada por:
Fg = G M mr^2
Onde:
  • Fg = g R^2 mr^2 é a massa do satélite,
  • Fg = g R^2 mR^2 = g m é a velocidade orbital,
  • m v^2R = g m é o raio da órbita (igual ao raio da Terra mais a altura do satélite, mas como a altura v^2R = g é desprezível, ).
A força gravitacional ( ) é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa da Terra.
Como , podemos substituir por na equação da força gravitacional:
Mas como :
Então, igualando e :
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o período v = 2 pi RT da órbita. Sabemos que a velocidade orbital ( 2 pi RT )^2 = g R está relacionada com o período pela fórmula:
4 pi^2 R^2T^2 = g R
Substituindo isso na equação anterior:
Vamos desenvolver isso:

Passo 4

Agora, vamos isolar T^2 = 4 pi^2 R^2g R = 4 pi^2 Rg :
T = 2 pi raizRg
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 5

Agora, basta inserir os valores conhecidos:
R = 6,37 times 10^6 m
g = 9,81 m/s^2
Substituindo na fórmula:
T = 2 pi raiz6,37 times 10^69,81
Calculando o valor dentro da raiz:
6,37 times 10^69,81 approx 6,497 times 10^5 s^2
Então:
T = 2 pi raiz6,497 times 10^5 approx 2 pi times 805,4 s approx 5060 s
Convertendo segundos para minutos:
5060 s div 60 approx 84,3 min

Resposta

O período da órbita circular seria aproximadamente minutos.

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