Um satélite de massa
está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é
e a massa da Terra é
. Considere que
. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
a) Calcule o período que o satélite teria se estivesse em órbita circular a uma distância desprezível
da superfície da Terra - low earth orbit (LEO);
a) Calcule o período que o satélite teria se estivesse em órbita circular a uma distância desprezível
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um satélite com massa
orbitando a Terra. A Terra tem raio
e uma massa desconhecida
, mas sabemos que a aceleração da gravidade na superfície é
. O exercício pede para calcular o período que esse satélite teria se estivesse em uma órbita circular bem baixa, ou seja, logo acima da superfície da Terra (Low Earth Orbit - LEO). Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a Lei da Gravitação Universal de Newton e a fórmula para o período de uma órbita circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para um satélite estar em órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo nessa órbita deve ser igual à força gravitacional que a Terra exerce sobre ele. A força centrípeta (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa do satélite, -
é a velocidade orbital, -
é o raio da órbita (igual ao raio da Terra mais a altura do satélite, mas como a altura é desprezível, ).
A força gravitacional (
) é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da Terra.
Como
, podemos substituir
por
na equação da força gravitacional:
Mas como
:
Então, igualando
e
:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o período
da órbita. Sabemos que a velocidade orbital
está relacionada com o período pela fórmula:
Substituindo isso na equação anterior:
Vamos desenvolver isso:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 5
Agora, basta inserir os valores conhecidos:
Substituindo na fórmula:
Calculando o valor dentro da raiz:
Então:
Convertendo segundos para minutos:
Resposta
O período da órbita circular seria aproximadamente
minutos.