Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
e) Para um dado
, os pontos de retorno do movimento em
são soluções da equação
. Partindo desta equação, mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central dada por
. O exercício quer que, para uma energia
específica, encontremos os pontos de retorno do movimento radial
resolvendo a equação
. E, a partir dessa equação, devemos mostrar que:
Aqui, vamos usar conceitos de energia mecânica em movimentos de partículas sob forças centrais, derivadas do cálculo diferencial para resolver a equação.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a energia total
de uma partícula em movimento sob uma força central é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial. Em coordenadas polares, a energia cinética pode ser expressa como:
E a energia potencial
associada à força
é obtida pela integral da força em relação a
:
Então, a energia total
é:
Passo 3
Como a força é central, o momento angular
da partícula é conservado. O momento angular é dado por:
Podemos resolver essa expressão para
:
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia total
, temos:
Aqui,
representa a energia centrífuga.
Passo 5
Para encontrar os pontos de retorno do movimento radial, consideramos quando a velocidade radial
é zero. Assim, a energia total nessa condição é:
Vamos reorganizar essa equação:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, obtemos:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Esta é uma equação quadrática em
. Para facilitar a resolução, podemos usar uma substituição. Vamos definir
, então a equação fica:
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 8
Para que haja soluções reais para
, o discriminante deve ser não negativo:
Isso implica que:
Resposta
Assim, demonstramos que: