Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
F=kr^2 r
e) Para um dado E, os pontos de retorno do movimento em r são soluções da equação V^prime(r)=E. Partindo desta equação, mostre que
A^2=m^2 k^2L^4+2 m EL^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central dada por A^2 = m^2 k^2L^4 + 2 m EL^2 . O exercício quer que, para uma energia específica, encontremos os pontos de retorno do movimento radial resolvendo a equação . E, a partir dessa equação, devemos mostrar que:
Aqui, vamos usar conceitos de energia mecânica em movimentos de partículas sob forças centrais, derivadas do cálculo diferencial para resolver a equação.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a energia total T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) de uma partícula em movimento sob uma força central é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial. Em coordenadas polares, a energia cinética pode ser expressa como:
V(r) = -integral kr^2 dr = kr
E a energia potencial E = T + V = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) + kr associada à força é obtida pela integral da força em relação a :
Então, a energia total é:

Passo 3

Como a força é central, o momento angular L = m r^2 dottheta da partícula é conservado. O momento angular é dado por:
dottheta = Lm r^2
Podemos resolver essa expressão para :

Passo 4

Substituindo E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + kr na expressão da energia total , temos:
Aqui, representa a energia centrífuga.

Passo 5

Para encontrar os pontos de retorno do movimento radial, consideramos quando a velocidade radial E = L^22 m r^2 + kr é zero. Assim, a energia total nessa condição é:
kr + L^22 m r^2 = E
Vamos reorganizar essa equação:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 m k r + L^2 = 2 m E r^2 para eliminar os denominadores, obtemos:
2 m E r^2 - 2 m k r - L^2 = 0
Rearranjando os termos:

Passo 7

Esta é uma equação quadrática em 2 m E u^2 - 2 m k u - L^2 = 0 . Para facilitar a resolução, podemos usar uma substituição. Vamos definir u = 2 m k pm raiz(2 m k)^2 + 8 m E L^24 m E , então a equação fica:
u = m k pm raizm^2 k^2 + 2 m E L^22 m E
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 8

Para que haja soluções reais para m^2 k^2 + 2 m E L^2 >= 0 , o discriminante deve ser não negativo:
A^2 = m^2 k^2L^4 + 2 m EL^2
Isso implica que:

Resposta

Assim, demonstramos que:
A^2 = m^2 k^2L^4 + 2 m EL^2

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