Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y a) alrededor de la recta . b) alrededor de la recta c) alrededor de la recta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno de três retas diferentes: , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando principalmente os métodos de discos/aros e cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos a parábola e a reta . Essas duas curvas se interceptam quando , ou seja, quando e . Então, a região está entre e .

Passo 3

Vamos começar com a parte a) do exercício: calcular o volume gerado ao girar essa região em torno da reta .
Quando giramos em torno de uma reta horizontal como , o método dos discos/aros é mais conveniente. A ideia é considerar fatias perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada “anel” formado.

Passo 4

Para aplicar o método dos discos/aros, precisamos determinar o raio de cada aro. Nesse caso, o raio é a distância entre a reta de rotação ( ) e a função . Então, o raio é:

Passo 5

O volume de cada aro é dado por . Integrando isso de a , teremos:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Então,
Integrando termo a termo:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 8

Calculando os termos:
Então,

Passo 9

Agora, vamos para a parte b): girar a mesma região em torno da reta .
Ainda usamos o método dos discos/aros, mas agora o raio muda. O novo raio é a distância entre e :

Passo 10

O volume será:
Calculando:
Então,

Passo 11

Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 12

Calculando os termos:
Então,

Passo 13

Por fim, vamos resolver a parte c): girar a região em torno da reta .
Aqui, o método mais adequado é o das cascas cilíndricas, pois estamos girando em torno de uma reta vertical.

Passo 14

No método das cascas, consideramos fatias verticais da região. A altura de cada casca é a diferença entre as funções e , e o raio é a distância de cada até a reta :

Passo 15

O volume de cada casca é dado por . Assim:

Passo 16

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então,

Passo 17

Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 18

Calculando os termos:
Então,

Resposta

a) O volume ao girar em torno de é unidades cúbicas.
b) O volume ao girar em torno de é unidades cúbicas.
c) O volume ao girar em torno de é unidades cúbicas.

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