Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de
y
a) alrededor de la recta
. b) alrededor de la recta
c) alrededor de la recta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno de três retas diferentes:
,
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando principalmente os métodos de discos/aros e cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos a parábola
e a reta
. Essas duas curvas se interceptam quando
, ou seja, quando
e
. Então, a região está entre
e
.
Passo 3
Vamos começar com a parte a) do exercício: calcular o volume gerado ao girar essa região em torno da reta
.
Quando giramos em torno de uma reta horizontal como
, o método dos discos/aros é mais conveniente. A ideia é considerar fatias perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada “anel” formado.
Passo 4
Para aplicar o método dos discos/aros, precisamos determinar o raio de cada aro. Nesse caso, o raio é a distância entre a reta de rotação (
) e a função
. Então, o raio
é:
Passo 5
O volume de cada aro é dado por
. Integrando isso de
a
, teremos:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Então,
Integrando termo a termo:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 8
Calculando os termos:
Então,
Passo 9
Agora, vamos para a parte b): girar a mesma região em torno da reta
.
Ainda usamos o método dos discos/aros, mas agora o raio muda. O novo raio
é a distância entre
e
:
Passo 10
O volume será:
Calculando:
Então,
Passo 11
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 12
Calculando os termos:
Então,
Passo 13
Por fim, vamos resolver a parte c): girar a região em torno da reta
.
Aqui, o método mais adequado é o das cascas cilíndricas, pois estamos girando em torno de uma reta vertical.
Passo 14
No método das cascas, consideramos fatias verticais da região. A altura de cada casca é a diferença entre as funções
e
, e o raio é a distância de cada
até a reta
:
Passo 15
O volume de cada casca é dado por
. Assim:
Passo 16
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 17
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 18
Calculando os termos:
Então,
Resposta
a) O volume ao girar em torno de
é
unidades cúbicas.
b) O volume ao girar em torno de
é
unidades cúbicas.
c) O volume ao girar em torno de
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
La región acotada por las gráfica de
y
gira alrededor de la recta
. Calcule el volumen del sólido resultante.
Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por
respecto al eje
. Realice una representación gráfica.
La velocidad de una partícula viene dada según la siguiente expresión:
a) Bosquejar (posición en función del tiempo) sabiendo que:
a) Bosquejar
La velocidad de una partícula viene dada según la siguiente expresión:
b) Hallar el instante para el cual se presenta y dicha aceleración máxima.
b) Hallar el instante para el cual se presenta y dicha aceleración máxima.