La región acotada por las gráfica de y gira alrededor de la recta . Calcule el volumen del sólido resultante.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma região limitada pelas curvas , e . Queremos descobrir o volume que essa região gera quando gira em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou arandelas, que envolve calcular integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva é uma parábola que abre para a direita. A reta é uma linha vertical que corta a parábola. E é o eixo . Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar onde intercepta , igualamos as duas equações:
Então, a região vai de até .

Passo 4

Como estamos girando em torno da reta , vamos usar o método das arandelas. A fórmula para o volume é:
onde é a distância da curva mais externa até a linha de rotação, e é a distância da curva mais interna até a linha de rotação.

Passo 5

Aqui, a curva mais externa é a reta e a curva mais interna é . Então:
âé
âé

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 7

Primeiro, calculamos e expandimos :
Então, a expressão dentro da integral fica:

Passo 8

Agora, nosso volume é:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 9

Integrando:
Então, a integral completa fica:

Passo 10

Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 2:
Simplificando:

Passo 11

Vamos calcular :
Então:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido resultante é unidades cúbicas.

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