La región acotada por las gráfica de
y
gira alrededor de la recta
. Calcule el volumen del sólido resultante.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma região limitada pelas curvas
,
e
. Queremos descobrir o volume que essa região gera quando gira em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou arandelas, que envolve calcular integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva
é uma parábola que abre para a direita. A reta
é uma linha vertical que corta a parábola. E
é o eixo
. Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar onde
intercepta
, igualamos as duas equações:
Então, a região vai de
até
.
Passo 4
Como estamos girando em torno da reta
, vamos usar o método das arandelas. A fórmula para o volume
é:
onde
é a distância da curva mais externa até a linha de rotação, e
é a distância da curva mais interna até a linha de rotação.
Passo 5
Aqui, a curva mais externa é a reta
e a curva mais interna é
. Então:
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 7
Primeiro, calculamos
e expandimos
:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 8
Agora, nosso volume é:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 9
Integrando:
Então, a integral completa fica:
Passo 10
Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 2:
Simplificando:
Passo 11
Vamos calcular
:
Então:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido resultante é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por
respecto al eje
. Realice una representación gráfica.
Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de
y
a) alrededor de la recta
. b) alrededor de la recta
c) alrededor de la recta
.
La velocidad de una partícula viene dada según la siguiente expresión:
a) Bosquejar (posición en función del tiempo) sabiendo que:
a) Bosquejar