Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por y = x^3, y = 8, x = 0 respecto al eje y. Realice una representación gráfica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que é formado quando a região limitada por , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos. Isso envolve entender como essas curvas se comportam e como elas delimitam a área que será girada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção para saber os limites de integração. Temos e . Para encontrar onde elas se encontram:
Então, a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , é mais conveniente expressar em função de . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Aqui, , e os limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 8:
Sabemos que , então .

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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