Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por respecto al eje . Realice una representación gráfica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que é formado quando a região limitada por , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos. Isso envolve entender como essas curvas se comportam e como elas delimitam a área que será girada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção para saber os limites de integração. Temos e . Para encontrar onde elas se encontram:
Então, a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , é mais conveniente expressar em função de . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Aqui, , e os limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral nos limites de 0 a 8:
Sabemos que , então .

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcule usando a Regra da Cadeia.
La región acotada por las gráfica de y gira alrededor de la recta . Calcule el volumen del sólido resultante.
Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y a) alrededor de la recta . b) alrededor de la recta c) alrededor de la recta .