Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por respecto al eje . Realice una representación gráfica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que é formado quando a região limitada por , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos. Isso envolve entender como essas curvas se comportam e como elas delimitam a área que será girada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção para saber os limites de integração. Temos e . Para encontrar onde elas se encontram:
Então, a região que vamos girar está entre e .
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo , é mais conveniente expressar em função de . Sabemos que , então:
Passo 4
Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo é: