La velocidad de una partícula viene dada según la siguiente expresión: v(t) = 2 t * e^(-2 t) t ≥ 0
a) Bosquejar X : X(t) (posición en función del tiempo) sabiendo que: X(0) = -1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade de uma partícula dada por para , e precisamos desenhar a posição em função do tempo, sabendo que . Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, para achar a posição a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Então, para encontrar , precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos escrever a fórmula para integrando :
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à expressão de :

Passo 7

Então, a função posição é:
Essa é a expressão que você pode usar para desenhar o gráfico de em função do tempo.

Resposta

A posição em função do tempo é dado por:

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