La velocidad de una partícula viene dada según la siguiente expresión: v(t) = 2 t * e^(-2 t) t ≥ 0
b) Hallar el instante para el cual se presenta y dicha aceleración máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de física! O enunciado nos dá a velocidade de uma partícula em função do tempo: para . O que a gente precisa encontrar aqui é o instante de tempo em que a aceleração dessa partícula atinge o seu valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, já que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a aceleração é a derivada da velocidade:
Então, vamos calcular a derivada de .

Passo 3

Para derivar , usamos a regra do produto, que é quando temos duas funções multiplicando uma à outra. A regra do produto diz que:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais:

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
Portanto, a aceleração é:

Passo 6

Agora que temos a expressão para a aceleração, queremos encontrar o instante em que essa aceleração atinge o valor máximo. Para isso, vamos derivar em relação ao tempo e igualar a zero, encontrando os pontos críticos.
Vamos chamar essa derivada de :

Passo 7

Novamente, usamos a regra do produto para derivar :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 8

Para encontrar o máximo da aceleração, igualamos a zero:
Como nunca é zero, podemos simplificar:

Resposta

O instante em que a aceleração da partícula atinge o seu valor máximo é em segundos.

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