Sejam e . Calcule usando a Regra da Cadeia.

Passo 1

Então, temos a função onde e . O objetivo aqui é calcular a derivada parcial de em relação a usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como depende de e , e como e dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da função precisamos derivar. A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando . A função em termos de e é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Usando a forma simplificada de :
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos agora calcular . Lembrando que :
Então:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular . Sabendo que :

Passo 7

Agora, vamos juntar tudo na Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Agora, podemos substituir e pelas suas expressões originais:
Substituindo:

Passo 9

Simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

Seja a função . Usando a definição, calcule e
Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por respecto al eje . Realice una representación gráfica.