Sejam f(s, t)=s^2+3 t2 t, s=-cos (x y) e t=2 sen(x+y). Calcule partial fpartial x usando a Regra da Cadeia.

Passo 1

Então, temos a função onde e . O objetivo aqui é calcular a derivada parcial de em relação a usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como depende de e , e como e dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da função precisamos derivar. A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que:
partial fpartial x = partial fpartial s cdot partial spartial x + partial fpartial t cdot partial tpartial x
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando f(s, t) = s^2 + 3t2t = s^22t + 3t2t = s^22t + 32 . A função partial fpartial s = 2s2t = st em termos de e é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular f(s, t) = s^22t + 32 . Usando a forma simplificada de partial fpartial t = -s^22t^2 + 0 = -s^22t^2 :
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos agora calcular partial spartial x = -partialpartial x cos(xy) = sin(xy) cdot partialpartial x(xy) = sin(xy) cdot y . Lembrando que partial spartial x = y sin(xy) :
Então:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular partial tpartial x = 2cos(x+y) cdot partialpartial x(x+y) = 2cos(x+y) cdot 1 = 2cos(x+y) . Sabendo que :

Passo 7

Agora, vamos juntar tudo na Regra da Cadeia:
partial fpartial x = partial fpartial s cdot partial spartial x + partial fpartial t cdot partial tpartial x
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial fpartial x = ( st ) cdot ( y sin(xy) ) + ( -s^22t^2 ) cdot ( 2cos(x+y) )

Passo 8

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = s y sin(xy)t - s^2 cos(x+y)t^2
Agora, podemos substituir s = -cos(xy) e t = 2sen(x+y) e partial fpartial x = (-cos(xy)) y sin(xy)2sen(x+y) - (-cos(xy))^2 cos(x+y)(2sen(x+y))^2 pelas suas expressões originais:
Substituindo:

Passo 9

Simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial x = -y cos(xy) sin(xy)2sen(x+y) - cos^2(xy) cos(x+y)4sen^2(x+y) em relação a é:

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