Sejam
e
. Calcule
usando a Regra da Cadeia.
Passo 1
Então, temos a função
onde
e . O objetivo aqui é calcular a derivada parcial de
em relação a
usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como
depende de
e
, e como
e
dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais partes da função precisamos derivar. A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 3
Vamos começar calculando
. A função
em termos de
e
é:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Usando a forma simplificada de
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Vamos agora calcular
. Lembrando que
:
Então:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular
. Sabendo que :
Passo 7
Agora, vamos juntar tudo na Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Agora, podemos substituir
e
pelas suas expressões originais:
Substituindo:
Passo 9
Simplificando ainda mais:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja a função
. Usando a definição, calcule
e
Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por
respecto al eje
. Realice una representación gráfica.