Calcule a equação da hipérbole com centro na origem, eixos principais ao longo dos eixos coordenados, e dados pela equação
.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcular a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem e os eixos principais alinhados com os eixos coordenados. A equação que a gente já tem é
. Vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre hipérboles, pra entender e confirmar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão de uma hipérbole com center na origem e eixos alinhados com os coordenados. A equação geral é
, onde:
-
é a distância do centro até os vértices na direção do eixo . -
é a distância do centro aos pontos que definem a caixa da hipérbole na direção do eixo .
No nosso caso, comparando com a equação dada
, temos:
-
então . -
então .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os elementos principais da hipérbole:
- Vértices: São os pontos onde a hipérbole cruza seu eixo principal. Como o eixo principal está no eixo
, os vértices estão em , ou seja, e . - Eixos da hipérbole: O eixo principal é o eixo
e o secundário é o eixo .
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os focos da hipérbole. A distância do centro aos focos é dada por
, onde
.
- Calculando:
, então .
Portanto, os focos estão em
e
.
Passo 5
Finalmente, podemos descrever a hipérbole com todas as informações:
- Centro: (0, 0)
- Vértices: (0, 5) e (0, -5)
- Focos:
e - Eixos: Principal no eixo
e secundário no eixo
Resposta
A equação da hipérbole com centro na origem e eixos principais ao longo dos eixos coordenados é
, com vértices em (0, 5) e (0, -5) e focos em
e
.