Calcule a equação da hipérbole com centro na origem, eixos principais ao longo dos eixos coordenados, e dados pela equação y^225-x^29=1.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra calcular a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem e os eixos principais alinhados com os eixos coordenados. A equação que a gente já tem é . Vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre hipérboles, pra entender e confirmar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão de uma hipérbole com center na origem e eixos alinhados com os coordenados. A equação geral é , onde:
  • é a distância do centro até os vértices na direção do eixo .
  • é a distância do centro aos pontos que definem a caixa da hipérbole na direção do eixo .
No nosso caso, comparando com a equação dada , temos:
  • então .
  • então .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os elementos principais da hipérbole:
  • Vértices: São os pontos onde a hipérbole cruza seu eixo principal. Como o eixo principal está no eixo , os vértices estão em , ou seja, e .
  • Eixos da hipérbole: O eixo principal é o eixo e o secundário é o eixo .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os focos da hipérbole. A distância do centro aos focos é dada por , onde .
  • Calculando: , então .
Portanto, os focos estão em e .

Passo 5

Finalmente, podemos descrever a hipérbole com todas as informações:
  • Centro: (0, 0)
  • Vértices: (0, 5) e (0, -5)
  • Focos: e
  • Eixos: Principal no eixo e secundário no eixo

Resposta

A equação da hipérbole com centro na origem e eixos principais ao longo dos eixos coordenados é , com vértices em (0, 5) e (0, -5) e focos em e .

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