Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto misto dos vetores dados:
Esse problema envolve operações de vetores, especificamente o produto vetorial e o produto escalar. Para resolver, vamos precisar calcular o produto vetorial primeiro e depois fazer o produto escalar desse resultado com .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular é:
Substituindo os componentes dos vetores e :
Passo 3
Vamos expandir o determinante:
v times w = i cdot (4 cdot 2 - (-4) cdot 3) - j cdot (1 cdot 2 - (-4) cdot 0) + k cdot (1 cdot 3 - 4 cdot 0)
Calculando cada termo:
i: 4 cdot 2 - (-4) cdot 3 = 8 + 12 = 20
j: 1 cdot 2 - (-4) cdot 0 = 2 - 0 = 2
k: 1 cdot 3 - 4 cdot 0 = 3 - 0 = 3
Portanto:
v times w = 20i - 2j + 3k
Passo 4
Agora que temos a cdot b = ax bx + ay by + az bz , vamos calcular o produto escalar com o vetor u cdot (v times w) = (3)(20) + (-2)(-2) + (-5)(3) . O produto escalar entre dois vetores 3 cdot 20 = 60 e -2 cdot -2 = 4 é dado por: