Calcule o produto misto u cdot(v times w) dos vetores
u=3 i-2 j-5 k, v=i+4 j-4 k e w=3 j+2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto misto u = 3i - 2j - 5k, v = i + 4j - 4k, w = 3j + 2k dos vetores dados:
Esse problema envolve operações de vetores, especificamente o produto vetorial e o produto escalar. Para resolver, vamos precisar calcular o produto vetorial primeiro e depois fazer o produto escalar desse resultado com .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w = i & j & k vx & vy & vz wx & wy & wz . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular v times w = i & j & k 1 & 4 & -4 0 & 3 & 2 é:
Substituindo os componentes dos vetores e :

Passo 3

Vamos expandir o determinante:
v times w = i cdot (4 cdot 2 - (-4) cdot 3) - j cdot (1 cdot 2 - (-4) cdot 0) + k cdot (1 cdot 3 - 4 cdot 0)
Calculando cada termo:
i: 4 cdot 2 - (-4) cdot 3 = 8 + 12 = 20
j: 1 cdot 2 - (-4) cdot 0 = 2 - 0 = 2
k: 1 cdot 3 - 4 cdot 0 = 3 - 0 = 3
Portanto:
v times w = 20i - 2j + 3k

Passo 4

Agora que temos a cdot b = ax bx + ay by + az bz , vamos calcular o produto escalar com o vetor u cdot (v times w) = (3)(20) + (-2)(-2) + (-5)(3) . O produto escalar entre dois vetores 3 cdot 20 = 60 e -2 cdot -2 = 4 é dado por:
-5 cdot 3 = -15
Aplicando isso a :
Calculando cada termo:

Passo 5

Somando os resultados:
60 + 4 - 15 = 49

Resposta

O produto misto é igual a 49.

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