Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,-1,2) e é perpendicular ao plano 2 x-y+3 z=4 ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto (1, -1, 2) e que seja perpendicular ao plano dado pela equação 2x - y + 3z = 4. Aqui, estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que é um vetor normal a um plano e como usar esse vetor para definir a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz = D, onde o vetor normal é (A, B, C). No nosso caso, a equação do plano é 2x - y + 3z = 4, então o vetor normal é n = (2, -1, 3).

Passo 3

Como a reta que queremos encontrar é perpendicular ao plano, isso significa que a reta tem a mesma direção do vetor normal do plano. Portanto, o vetor diretor da reta é d = (2, -1, 3).

Passo 4

Agora, vamos montar a equação paramétrica da reta. A forma geral da equação de uma reta no espaço é:
x = x0 + dx t y = y0 + dy t z = z0 + dz t
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual a reta passa e (dx, dy, dz) são as componentes do vetor diretor. O t é o parâmetro que pode variar.

Passo 5

Substituindo o ponto dado (1, -1, 2) e o vetor diretor (2, -1, 3) na equação paramétrica, temos:
x = 1 + 2t y = -1 - t z = 2 + 3t

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto (1, -1, 2) e é perpendicular ao plano 2x - y + 3z = 4 é:
x = 1 + 2t y = -1 - t z = 2 + 3t
Onde t é um número real que representa o parâmetro da reta.

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