Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
l2 x1+2 x2+2 x3=0 -2 x1+5 x2+2 x3=0 8 x1+x2+4 x3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar umas manobras com as linhas para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma equação do sistema:
2 & 2 & 2 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 0 8 & 1 & 4 & | & 0

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em forma escalonada reduzida usando operações elementares de linha. A primeira coisa que vamos fazer é tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
R1 div 2 R1
1 & 1 & 1 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 0 8 & 1 & 4 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para a segunda linha, somamos 2 vezes a primeira linha a ela:
R2 + 2R1 R2
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 0 8 & 1 & 4 & | & 0

Passo 5

Fazemos o mesmo para a terceira linha: subtraímos 8 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 - 8R1 R3
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 0 0 & -7 & -4 & | & 0

Passo 6

Observamos que a terceira linha é o negativo da segunda. Então, somamos a terceira linha com a segunda para eliminar o elemento:
R3 + R2 R3
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 7 para deixar o coeficiente do segundo elemento igual a 1:
R2 div 7 R2
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 8

Em seguida, eliminamos o 1 acima do 1 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
R1 - R2 R1
1 & 0 & 37 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 9

Agora, temos a matriz em forma reduzida. Podemos escrever as equações correspondentes:
x1 + 37x3 = 0 x2 + 47x3 = 0 0 = 0

Passo 10

Vamos expressar x1 = -37x3 e x2 = -47x3 em termos de :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -37x3 x2 = -47x3 x3 é livre é
Ou seja, todas as soluções são múltiplos de , onde pode ser qualquer número real.

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