Calcule a equação da hipérbole com centro em (2,-1), vértices em (2 pm 3,-1), e focos em (2 pm 5,-1) ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro em (2,-1), vértices em (2 pm 3,-1) e focos em (2 pm 5,-1). Para isso, vamos usar a forma geral da equação da hipérbole e entender alguns conceitos básicos como centro, vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a hipérbole é horizontal ou vertical. Olhando para os vértices e os focos, percebemos que eles só mudam na direção do eixo x (pois a coordenada y permanece -1). Isso significa que a hipérbole é horizontal.

Passo 3

A equação geral de uma hipérbole horizontal com centro em (h,k) é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Aqui:
  • a é a distância do centro aos vértices.
  • c é a distância do centro aos focos.
  • E a relação entre eles é c^2 = a^2 + b^2.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de a e c:
  • Centro: (h,k) = (2,-1)
  • Vértices: (2 pm 3,-1) → Isso significa que a = 3
  • Focos: (2 pm 5,-1) → Portanto, c = 5
Agora, vamos encontrar b usando a relação c^2 = a^2 + b^2:
5^2 = 3^2 + b^2 25 = 9 + b^2 b^2 = 16 b = 4

Resposta

Substituindo os valores encontrados na equação geral, temos:
(x - 2)^29 - (y + 1)^216 = 1

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