Encontre a equação da hipérbole que passa pelos pontos
,
, e
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que passa pelos pontos
,
,
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, para determinar os parâmetros que definem essa equação.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a equação padrão de uma hipérbole pode ter duas formas, dependendo da orientação:
-
Eixo real horizontal:
-
Eixo real vertical:
Onde:
-
é a distância do centro até os vértices. -
está relacionado com a abertura da hipérbole.
Passo 3
Vamos tentar primeiro com a hipérbole de eixo real horizontal. Observando os pontos
e
, eles estão alinhados no eixo x, sugerindo que são os vértices da hipérbole. Portanto, temos:
Substituindo na equação padrão:
Passo 4
Agora, utilizamos um dos outros pontos para encontrar
. Vamos usar o ponto
:
Isso implica que
, o que não é possível, já que
deve ser positivo. Portanto, a hipótese de eixo horizontal está incorreta.
Passo 5
Vamos então considerar a hipérbole de eixo real vertical. A equação padrão é:
Os pontos
e
estão alinhados no eixo y, indicando que são os vértices. Assim:
Substituindo na equação:
Passo 6
Agora, usamos o ponto
para encontrar
:
Novamente, obtemos
, o que não é possível. Portanto, a hipótese de eixo vertical também está incorreta.
Passo 7
Como nenhuma das orientações padrão funcionou, consideramos que a hipérbole pode estar rotacionada. A equação geral de uma hipérbole rotacionada é:
Vamos usar os pontos dados para determinar os coeficientes
,
e
.
Passo 8
Substituindo os pontos na equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Percebemos que os valores de
e
são consistentes, mas não conseguimos determinar
com os pontos fornecidos. Isso indica uma inconsistência, sugerindo que não existe uma hipérbole real que passe por todos esses pontos.
Resposta
Não existe uma hipérbole real que passa pelos pontos
,
,
e
.