Encontre a equação da hipérbole com centro na origem, eixos principais ao longo dos eixos coordenados, e focos em ( pm 5,0) e (0, pm 2) ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem, os eixos principais alinhados com os eixos coordenados e focos em (pm 5,0) e (0,pm 2). Para resolver isso, vamos precisar lembrar sobre a equação padrão da hipérbole, entender a posição dos focos e como eles se relacionam com os parâmetros da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a equação padrão da hipérbole. Existem duas formas principais, dependendo da orientação dos eixos:
  1. Hipérbole horizontal (aberta para os lados):
    x^2a^2 - y^2b^2 = 1
  2. Hipérbole vertical (aberta para cima e para baixo):
    y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Aqui, é a distância do centro até os vértices, está relacionado com a “largura” da hipérbole, e é a distância do centro até os focos, onde .

Passo 3

Agora, olhando para os focos fornecidos: (pm 5,0) e (0,pm 2). Isso sugere que temos duas hipérboles distintas:
  1. Hipérbole 1 com focos em (pm 5,0) (orientação horizontal).
  2. Hipérbole 2 com focos em (0,pm 2) (orientação vertical).
Vamos encontrar as equações de ambas.

Passo 4

Para a Hipérbole 1 (horizontal):
  • Os focos estão em (pm c,0), então x^2a^2 - y^2b^2 = 1 .
  • Precisamos encontrar . Como a hipérbole está na forma horizontal, usamos .
Mas como não temos mais informações sobre os vértices ou outros pontos, vamos assumir que . Vou considerar que o exercício quer apenas a equação em termos de e .
Então, a equação fica:
com e .

Passo 5

Para a Hipérbole 2 (vertical):
  • Os focos estão em (0,pm c), então y^2a^2 - x^2b^2 = 1 .
  • Novamente, usando , temos a relação para a hipérbole vertical.
A equação fica:
com e .

Passo 6

Sem informações adicionais sobre os vértices ou as dimensões específicas, as equações das hipérboles dependem dos parâmetros c^2 = a^2 + b^2 Rightarrow 25 = a^2 + b^2 e c^2 = a^2 + b^2 Rightarrow 4 = a^2 + b^2 . Porém, se assumirmos que as hipérboles estão no formato padrão com determinado por , podemos simplificar.
Para Hipérbole 1:
Como não temos mais dados, podemos expressar a equação em termos de ou .
Para Hipérbole 2:
Novamente, a equação dependerá dos valores de e .

Resposta

Portanto, as equações das hipérboles são:
  1. Hipérbole Horizontal:
    x^2a^2 - y^2b^2 = 1 com a^2 + b^2 = 25
  2. Hipérbole Vertical:
    y^2a^2 - x^2b^2 = 1 com a^2 + b^2 = 4
Sem valores adicionais para ou , essas são as formas gerais das equações das hipérboles com os focos especificados.

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