Encontre a equação da hipérbole com centro na origem, eixos principais ao longo dos eixos coordenados, e focos em
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem, os eixos principais alinhados com os eixos coordenados e focos em
e
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar sobre a equação padrão da hipérbole, entender a posição dos focos e como eles se relacionam com os parâmetros da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a equação padrão da hipérbole. Existem duas formas principais, dependendo da orientação dos eixos:
-
Hipérbole horizontal (aberta para os lados):
-
Hipérbole vertical (aberta para cima e para baixo):
Aqui,
é a distância do centro até os vértices,
está relacionado com a “largura” da hipérbole, e
é a distância do centro até os focos, onde
.
Passo 3
Agora, olhando para os focos fornecidos:
e
. Isso sugere que temos duas hipérboles distintas:
- Hipérbole 1 com focos em
(orientação horizontal). - Hipérbole 2 com focos em
(orientação vertical).
Vamos encontrar as equações de ambas.
Passo 4
Para a Hipérbole 1 (horizontal):
- Os focos estão em
, então . - Precisamos encontrar
. Como a hipérbole está na forma horizontal, usamos .
Mas como não temos mais informações sobre os vértices ou outros pontos, vamos assumir que
. Vou considerar que o exercício quer apenas a equação em termos de
e
.
Então, a equação fica:
com
e
.
Passo 5
Para a Hipérbole 2 (vertical):
- Os focos estão em
, então . - Novamente, usando
, temos a relação para a hipérbole vertical.
A equação fica:
com
e
.
Passo 6
Sem informações adicionais sobre os vértices ou as dimensões específicas, as equações das hipérboles dependem dos parâmetros
e
. Porém, se assumirmos que as hipérboles estão no formato padrão com
determinado por
, podemos simplificar.
Para Hipérbole 1:
Como não temos mais dados, podemos expressar a equação em termos de
ou
.
Para Hipérbole 2:
Novamente, a equação dependerá dos valores de
e
.
Resposta
Portanto, as equações das hipérboles são:
-
Hipérbole Horizontal:
-
Hipérbole Vertical:
Sem valores adicionais para
ou
, essas são as formas gerais das equações das hipérboles com os focos especificados.