Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(a) O conjunto X subset R^3 formado pelos vetores v= (x, y, z) tais que z=3 x e x=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se um certo conjunto de vetores é um subespaço vetorial. O conjunto está dentro de e é formado por vetores que seguem as condições e . Para resolver isso, vamos verificar se satisfaz os três critérios necessários para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está no conjunto . O vetor zero em é .
  • Verificando : ✔️
  • Verificando : ✔️
Como o vetor zero satisfaz ambas as condições, ele está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em e somar eles, o resultado também deve estar em .
Sejam e em . Então:
  • e
  • e
Agora, vamos somar .
Vamos verificar as condições para :
  1. → Isso satisfaz .
  2. → Isso satisfaz .
Então, a soma dos vetores também está em , o que significa que é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente multiplicar qualquer vetor em por um número real , o resultado ainda deve estar em .
Pegue um vetor em e um escalar . Então:
  • e
Multiplicando por :
  • → Isso satisfaz .
  • → Isso satisfaz .
Portanto, também pertence a , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

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