Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(a) O conjunto
formado pelos vetores
tais que
e
.
(a) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se um certo conjunto de vetores é um subespaço vetorial. O conjunto
está dentro de
e é formado por vetores
que seguem as condições
e
. Para resolver isso, vamos verificar se
satisfaz os três critérios necessários para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está no conjunto
. O vetor zero em
é
.
- Verificando
: → ✔️ - Verificando
: → ✔️
Como o vetor zero satisfaz ambas as condições, ele está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto
é fechado sob adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em
e somar eles, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
-
e -
e
Agora, vamos somar
.
Vamos verificar as condições para
:
-
→ Isso satisfaz . -
→ Isso satisfaz .
Então, a soma dos vetores
também está em
, o que significa que
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente multiplicar qualquer vetor em
por um número real
, o resultado ainda deve estar em
.
Pegue um vetor
em
e um escalar
. Então:
-
e
Multiplicando por
:
-
→ Isso satisfaz . -
→ Isso satisfaz .
Portanto,
também pertence a
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.