Um pai possui 30 frascos de perfum dos quais 10 estão totalmente cheios, 10 contém metade do conteúdo e os outros 10 vazios. Ele deseja distribuir todos os frascos entre suas 3 filhas de forma que todas recebam a mesma quantidade de frascos e a mesma quantidade de perfume. Porém, nenhum dos frascos pode ser aberto. De que forma ele pode fazer essa distribuição?
(a) Encontre uma solução para este problema.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um pai que tem 30 frascos de perfume divididos da seguinte forma: 10 estão totalmente cheios, 10 estão com metade do conteúdo e 10 estão vazios. Ele quer repartir todos esses frascos igualmente entre suas 3 filhas, tanto em número de frascos quanto na quantidade total de perfume que cada uma recebe. Além disso, não pode abrir nenhum frasco para medir o perfume. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática básica para garantir que cada filha receba a mesma quantidade de frascos e a mesma quantidade de perfume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantos frascos cada filha deve receber. Como são 30 frascos e 3 filhas, cada uma deve receber:
Então, cada filha vai receber exatamente 10 frascos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade total de perfume disponível. Cada frasco cheio tem uma unidade de perfume, cada meio frasco tem 0,5 unidades e os vazios não têm perfume. Então:
Como são 3 filhas, cada uma deve receber:
Passo 4
Agora, precisamos distribuir os frascos de forma que cada filha receba 10 frascos que somem 5 unidades de perfume. Vamos chamar:
-
= número de frascos cheios -
= número de frascos meia-cheios -
= número de frascos vazios
Temos duas equações:
- Total de frascos:
- Total de perfume:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Da segunda equação, podemos isolar
:
Substituindo na primeira equação:
Agora, precisamos encontrar valores inteiros para
e
que satisfaçam essa equação. Vamos testar valores para
:
-
Se
: Então,Cada filha recebe: 4 frascos cheios, 2 meia-cheios e 4 vazios. -
Se
: Então,Cada filha recebe: 3 frascos cheios, 4 meia-cheios e 3 vazios.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se temos frascos suficientes para todas as filhas. Se duas filhas recebem 3 cheios, 4 meia-cheios e 3 vazios, e a terceira recebe 4 cheios, 2 meia-cheios e 4 vazios, teremos:
- Total de frascos cheios:
- Total de frascos meia-cheios:
- Total de frascos vazios:
Isso bate com o que o pai tem disponível.
Resposta
O pai pode distribuir os frascos da seguinte forma:
- Duas filhas recebem 3 frascos cheios, 4 frascos meia-cheios e 3 frascos vazios cada.
- Uma filha recebe 4 frascos cheios, 2 frascos meia-cheios e 4 frascos vazios.
Dessa maneira, cada filha recebe 10 frascos no total e 5 unidades de perfume, garantindo uma distribuição justa e igualitária.