Um pai possui 30 frascos de perfum dos quais 10 estão totalmente cheios, 10 contém metade do conteúdo e os outros 10 vazios. Ele deseja distribuir todos os frascos entre suas 3 filhas de forma que todas recebam a mesma quantidade de frascos e a mesma quantidade de perfume. Porém, nenhum dos frascos pode ser aberto. De que forma ele pode fazer essa distribuição?
(a) Encontre uma solução para este problema.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um pai que tem 30 frascos de perfume divididos da seguinte forma: 10 estão totalmente cheios, 10 estão com metade do conteúdo e 10 estão vazios. Ele quer repartir todos esses frascos igualmente entre suas 3 filhas, tanto em número de frascos quanto na quantidade total de perfume que cada uma recebe. Além disso, não pode abrir nenhum frasco para medir o perfume. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática básica para garantir que cada filha receba a mesma quantidade de frascos e a mesma quantidade de perfume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantos frascos cada filha deve receber. Como são 30 frascos e 3 filhas, cada uma deve receber:
303 = 10 frascos
Então, cada filha vai receber exatamente 10 frascos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade total de perfume disponível. Cada frasco cheio tem uma unidade de perfume, cada meio frasco tem 0,5 unidades e os vazios não têm perfume. Então:
10 frascos cheios times 1 = 10 unidades
10 frascos meia-cheios times 0,5 = 5 unidades
10 frascos vazios times 0 = 0 unidades
Total de perfume = 10 + 5 + 0 = 15 unidades
Como são 3 filhas, cada uma deve receber:
153 = 5 unidades de perfume

Passo 4

Agora, precisamos distribuir os frascos de forma que cada filha receba 10 frascos que somem 5 unidades de perfume. Vamos chamar:
  • x + y + z = 10 = número de frascos cheios
  • x + 0,5y = 5 = número de frascos meia-cheios
  • = número de frascos vazios
Temos duas equações:
  1. Total de frascos:
  1. Total de perfume:

Passo 5

Vamos resolver essas equações. Da segunda equação, podemos isolar x = 5 - 0,5y :
(5 - 0,5y) + y + z = 10
Substituindo na primeira equação:
5 + 0,5y + z = 10
0,5y + z = 5
0,5 times 2 + z = 5 Rightarrow 1 + z = 5 Rightarrow z = 4
Agora, precisamos encontrar valores inteiros para 0,5 times 4 + z = 5 Rightarrow 2 + z = 5 Rightarrow z = 3 e que satisfaçam essa equação. Vamos testar valores para :
  • Se :
    Então,
    Cada filha recebe: 4 frascos cheios, 2 meia-cheios e 4 vazios.
  • Se :
    Então,
    Cada filha recebe: 3 frascos cheios, 4 meia-cheios e 3 vazios.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se temos frascos suficientes para todas as filhas. Se duas filhas recebem 3 cheios, 4 meia-cheios e 3 vazios, e a terceira recebe 4 cheios, 2 meia-cheios e 4 vazios, teremos:
  • Total de frascos cheios: 2 times 3 + 4 = 10
  • Total de frascos meia-cheios: 2 times 4 + 2 = 10
  • Total de frascos vazios: 2 times 3 + 4 = 10
Isso bate com o que o pai tem disponível.

Resposta

O pai pode distribuir os frascos da seguinte forma:
  • Duas filhas recebem 3 frascos cheios, 4 frascos meia-cheios e 3 frascos vazios cada.
  • Uma filha recebe 4 frascos cheios, 2 frascos meia-cheios e 4 frascos vazios.
Dessa maneira, cada filha recebe 10 frascos no total e 5 unidades de perfume, garantindo uma distribuição justa e igualitária.

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