Encontre a equação do plano que é perpendicular ao plano
e passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que é perpendicular ao plano
e que passa pelo ponto
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como os planos são definidos e como determinar a perpendicularidade entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por
, onde
é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o plano dado é
, então o vetor normal desse plano é
.
Passo 3
Queremos encontrar outro plano que seja perpendicular a esse primeiro plano. Para que dois planos sejam perpendiculares, os vetores normais deles devem ser perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 4
Vamos chamar o vetor normal do plano que queremos descobrir de
. Para que
e
sejam perpendiculares, devemos ter:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 5
Além disso, sabemos que o plano que estamos procurando passa pelo ponto
. Substituindo essas coordenadas na equação geral do plano
, temos:
Essa é a segunda equação que relaciona os coeficientes do nosso plano.
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações para três variáveis (
,
,
). Para resolver esse sistema, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos, por exemplo, expressar
em função de
e
a partir da primeira equação:
Passo 7
Substituindo
na segunda equação, temos:
Como não temos mais informações, podemos escolher um valor para uma das variáveis para simplificar. Vamos supor que
. Então:
E:
Passo 8
Escolhemos escolher
para simplificar ainda mais. Então:
E:
Passo 9
Agora, temos os valores de
,
,
e
:
Substituindo esses valores na equação geral do plano, temos:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano perpendicular a
e que passa pelo ponto
é: