Encontre a equação do plano que é perpendicular ao plano 2 x+y-z=4 e passa pelo ponto (0,1,2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que é perpendicular ao plano e que passa pelo ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como os planos são definidos e como determinar a perpendicularidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por , onde é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o plano dado é , então o vetor normal desse plano é .

Passo 3

Queremos encontrar outro plano que seja perpendicular a esse primeiro plano. Para que dois planos sejam perpendiculares, os vetores normais deles devem ser perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 4

Vamos chamar o vetor normal do plano que queremos descobrir de n1 cdot n2 = 0 Rightarrow 2A + B - C = 0 . Para que e sejam perpendiculares, devemos ter:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 5

Além disso, sabemos que o plano que estamos procurando passa pelo ponto A(0) + B(1) + C(2) = D Rightarrow B + 2C = D . Substituindo essas coordenadas na equação geral do plano , temos:
Essa é a segunda equação que relaciona os coeficientes do nosso plano.

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações para três variáveis ( 2A + B - C = 0 Rightarrow A = C - B2 , , ). Para resolver esse sistema, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos, por exemplo, expressar em função de e a partir da primeira equação:

Passo 7

Substituindo B + 2C = D na segunda equação, temos:
A = 1 - B2
Como não temos mais informações, podemos escolher um valor para uma das variáveis para simplificar. Vamos supor que B + 2(1) = D Rightarrow D = B + 2 . Então:
E:

Passo 8

Escolhemos escolher A = 1 - 02 = 12 para simplificar ainda mais. Então:
D = 0 + 2 = 2
E:

Passo 9

Agora, temos os valores de A = 12, B = 0, C = 1, D = 2 , 12x + 0y + 1z = 2 , 12x + z = 2 e :
Substituindo esses valores na equação geral do plano, temos:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano perpendicular a 12x + z = 2 e que passa pelo ponto é:

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