Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados. x - z = 4 arctan(y z) ; (1 + pi, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem é calcular a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por no ponto . Vamos precisar usar Cálculo Multivariável, especialmente conceitos de derivadas parciais e gradiente para encontrar essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície para facilitar os cálculos. Podemos colocar tudo no lado esquerdo da igualdade:
Isso é útil porque vamos usar o gradiente de para encontrar o plano tangente e a reta normal.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Essas derivadas formam o vetor gradiente ( ), que é perpendicular à superfície no ponto dado.
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então, o vetor gradiente no ponto é .

Passo 5

Com o vetor gradiente, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 6

Para encontrar a reta normal, usamos o ponto dado e a direção do vetor gradiente. A equação paramétrica da reta é dada por:
Onde é o vetor gradiente. Portanto:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

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