Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem é calcular a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por no ponto . Vamos precisar usar Cálculo Multivariável, especialmente conceitos de derivadas parciais e gradiente para encontrar essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície para facilitar os cálculos. Podemos colocar tudo no lado esquerdo da igualdade:
Isso é útil porque vamos usar o gradiente de para encontrar o plano tangente e a reta normal.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Essas derivadas formam o vetor gradiente (), que é perpendicular à superfície no ponto dado.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então, o vetor gradiente no ponto é .
Passo 5
Com o vetor gradiente, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 6
Para encontrar a reta normal, usamos o ponto dado e a direção do vetor gradiente. A equação paramétrica da reta é dada por:
Onde é o vetor gradiente. Portanto:
Resposta
A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são: