Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela equação
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como gradiente, que nos ajuda a encontrar vetores normais à superfície, e a fórmula das equações de planos e linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação dada
representa uma esfera com centro na origem
e raio
. Para encontrar o plano tangente nesse ponto específico, precisamos encontrar um vetor normal à esfera naquele ponto.
Passo 3
O vetor normal à superfície em um ponto pode ser encontrado calculando o gradiente da função que define a superfície. A função aqui é
. O gradiente de
é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
No ponto
, o gradiente fica:
Esse vetor
é o vetor normal ao plano tangente nesse ponto.
Passo 5
Agora, usamos a equação do plano que tem um vetor normal
e passa pelo ponto
, dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando a equação do plano:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao plano tangente no ponto
. A reta normal tem a mesma direção do vetor normal
e passa por esse ponto. As equações paramétricas ficam:
Onde
é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é:
E as equações paramétricas da reta normal são: