Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados. x^2 + y^2 + z^2 = 17 ; (2,-2,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como gradiente, que nos ajuda a encontrar vetores normais à superfície, e a fórmula das equações de planos e linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação dada representa uma esfera com centro na origem e raio . Para encontrar o plano tangente nesse ponto específico, precisamos encontrar um vetor normal à esfera naquele ponto.

Passo 3

O vetor normal à superfície em um ponto pode ser encontrado calculando o gradiente da função que define a superfície. A função aqui é . O gradiente de é dado por:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

No ponto , o gradiente fica:
Esse vetor é o vetor normal ao plano tangente nesse ponto.

Passo 5

Agora, usamos a equação do plano que tem um vetor normal e passa pelo ponto , dada por:
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a equação do plano:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal ao plano tangente no ponto . A reta normal tem a mesma direção do vetor normal e passa por esse ponto. As equações paramétricas ficam:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

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