Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela equação
no ponto
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para achar o vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 2
Para achar o plano tangente, precisamos da equação geral do plano que passa por um ponto
e que tem como normal o vetor gradiente
. Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície na forma
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
para encontrar o vetor gradiente:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Então, o vetor gradiente no ponto é
.
Passo 5
Com o vetor normal
e o ponto
, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar as equações da reta normal, usamos o vetor normal
como direção da reta e o ponto
como ponto de passagem. As equações paramétricas da reta são:
Onde
é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
E as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse ponto são: