Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados. y z = ln(x + z) ; (0, 0, 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para achar o vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 2

Para achar o plano tangente, precisamos da equação geral do plano que passa por um ponto e que tem como normal o vetor gradiente . Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície na forma .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e para encontrar o vetor gradiente:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então, o vetor gradiente no ponto é .

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar as equações da reta normal, usamos o vetor normal como direção da reta e o ponto como ponto de passagem. As equações paramétricas da reta são:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
E as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse ponto são:

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