(i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto P na direção do vetor u. f(x, y) = ln(raiz(x^2 + y^2)), P(-1, 2) e u = (1/3) * (2i + raiz(5) * j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer três coisas:
  1. Encontrar o gradiente da função .
  2. Calcular esse gradiente no ponto .
  3. Determinar a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor .
Pra isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
Vamos simplificar a função:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente da função é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir e na expressão do gradiente:

Passo 5

Por último, vamos determinar a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor .
Primeiro, garantimos que seja um vetor unitário. Aqui, já está normalizado porque:
A taxa de variação na direção de é o produto escalar do gradiente no ponto com :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação da função no ponto na direção do vetor é .

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