(i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto
dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer três coisas:
- Encontrar o gradiente da função
. - Calcular esse gradiente no ponto
. - Determinar a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor .
Pra isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Vamos simplificar a função:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente da função é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
na expressão do gradiente:
Passo 5
Por último, vamos determinar a taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
.
Primeiro, garantimos que
seja um vetor unitário. Aqui, já está normalizado porque:
A taxa de variação na direção de
é o produto escalar do gradiente no ponto
com
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação da função no ponto
na direção do vetor
é
.