Calcule
e
, em que
Passo 1
Então, a gente tem que calcular as segundas derivadas parciais da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante e depois aplicar isso duas vezes para obter as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Derivando cada termo em relação a
:
-
Para
, tratamos como constante: -
Para
, aplicamos a regra da potência:
Então, a primeira derivada em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em rela�o a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
-
Para
: -
Para
:
Então, a segunda derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
-
Para
, tratamos como constante: -
Para
:
Então, a primeira derivada em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
-
Para
: -
Para
, que não depende de , a derivada é zero.
Então, a segunda derivada em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as derivadas mistas. Primeiro, a derivada de
primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou seja,
.
Já tínhamos:
Derivando isso em relação a
:
-
Para
: -
Para
:
Então, a derivada mista
é:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a derivada mista na ordem inversa, ou seja, primeiro em relação a
e depois em relação a
,
.
Já tínhamos:
Derivando isso em relação a
:
-
Para
: -
Para
:
Então, a derivada mista
é:
Resposta
As segundas derivadas parciais são: