Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y partial x, em que f(x, y)=x^2y-yx^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular as segundas derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante e depois aplicar isso duas vezes para obter as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de partialpartial x ( x^2y ) = 2xy em relação a partialpartial x ( -yx^2 ) = 2 yx^3 , ou seja, partial fpartial x = 2xy + 2yx^3 .
A função é . Derivando cada termo em relação a :
  • Para , tratamos como constante:
  • Para , aplicamos a regra da potência:
Então, a primeira derivada em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partialpartial x ( 2xy ) = 2y em rela�o a partialpartial x ( 2yx^3 ) = -6yx^4 , ou seja, partial^2 fpartial x^2 = 2y - 6yx^4 .
Derivando em relação a :
  • Para :
  • Para :
Então, a segunda derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de partialpartial y ( x^2y ) = -x^2y^2 em relação a partialpartial y ( -yx^2 ) = -1x^2 , ou seja, partial fpartial y = -x^2y^2 - 1x^2 .
Derivando em relação a :
  • Para , tratamos como constante:
  • Para :
Então, a primeira derivada em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partialpartial y ( -x^2y^2 ) = 2x^2y^3 em relação a partial^2 fpartial y^2 = 2x^2y^3 , ou seja, .
Derivando em relação a :
  • Para :
  • Para , que não depende de , a derivada é zero.
Então, a segunda derivada em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as derivadas mistas. Primeiro, a derivada de partial fpartial x = 2xy + 2yx^3 primeiro em relação a partialpartial y ( 2xy ) = -2xy^2 e depois em relação a partialpartial y ( 2yx^3 ) = 2x^3 , ou seja, partial^2 fpartial y partial x = -2xy^2 + 2x^3 .
Já tínhamos:
Derivando isso em relação a :
  • Para :
  • Para :
Então, a derivada mista é:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a derivada mista na ordem inversa, ou seja, primeiro em relação a partial fpartial y = -x^2y^2 - 1x^2 e depois em relação a partialpartial x ( -x^2y^2 ) = -2xy^2 , partialpartial x ( -1x^2 ) = 2x^3 .
Já tínhamos:
partial^2 fpartial x partial y = -2xy^2 + 2x^3
Derivando isso em relação a :
  • Para :
  • Para :
Então, a derivada mista é:

Resposta

As segundas derivadas parciais são:
partial^2 fpartial x^2 = 2y - 6yx^4
partial^2 fpartial y^2 = 2x^2y^3
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x = -2xy^2 + 2x^3

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