Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados. x^2 = 12 y ; (6,3,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, como derivadas parciais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície . A equação pode ser reescrita como . Isso nos ajuda a tratar a superfície como o conjunto de pontos onde .

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular o gradiente de , que é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 5

Para encontrar as equações da reta normal, usamos o vetor gradiente como direção da reta. O vetor gradiente em é . A reta normal passa pelo ponto e tem direção . Assim, as equações paramétricas da reta são:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações da reta normal são:

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