Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados. xy = 1 ; (1, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por no ponto dado . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Essa é uma superfície no espaço 3D onde, para qualquer valor de , o produto de e é igual a 1. Isso significa que a superfície é um pouco parecida com um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, a gente precisa do vetor normal à superfície no ponto . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de .
Calculemos as derivadas parciais:
No ponto , essas derivadas são:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Agora, com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 5

Para encontrar as equações da reta normal, usamos o vetor normal como a direção da reta. A reta passa pelo ponto , então podemos escrever as equações paramétricas da reta da seguinte forma:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:
onde é um parâmetro real.

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