Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por
no ponto dado
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Essa é uma superfície no espaço 3D onde, para qualquer valor de
, o produto de
e
é igual a 1. Isso significa que a superfície é um pouco parecida com um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, a gente precisa do vetor normal à superfície no ponto
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
.
Calculemos as derivadas parciais:
No ponto
, essas derivadas são:
Então, o vetor normal é
.
Passo 4
Agora, com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 5
Para encontrar as equações da reta normal, usamos o vetor normal
como a direção da reta. A reta passa pelo ponto
, então podemos escrever as equações paramétricas da reta da seguinte forma:
Onde
é um parâmetro real.
Resposta
A equação do plano tangente é
e as equações paramétricas da reta normal são:
onde
é um parâmetro real.