Seja alpha: [0, infinito) -> R^3 uma curva, definida por
alpha(t) = (e^t cos(t), e^t sen(t), e^t)
Obtenha o triedro de Frenet {T, N, B} em um ponto arbitrário de alpha;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, definida pela função
O objetivo é encontrar o triedro de Frenet {T, N, B} em um ponto qualquer dessa curva. Isso faz parte do estudo de Geometria Diferencial de Curvas, onde analisamos como a curva se comporta no espaço.
Para resolver isso, vamos precisar calcular:
  1. A derivada da curva para encontrar o vetor tangente.
  2. Normalizar esse vetor para obter o vetor unitário tangente T.
  3. Encontrar a derivada de T e normalizá-la para obter o vetor normal N.
  4. Finalmente, calcular o produto vetorial de T e N para encontrar o vetor binormal B.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da curva alpha(t) em relação a t. Isso nos dará o vetor velocidade da curva.
A derivada de alpha(t) é:
Calculando cada componente:
  • Para a primeira componente:
  • Para a segunda componente:
  • Para a terceira componente:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário T(t). Para isso, precisamos normalizar o vetor , ou seja, dividir pela sua norma.
Primeiro, calculamos a norma de :
Simplificando:
Expandindo os termos dentro da raiz:
Então,
Agora, o vetor tangente unitário T(t) é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada do vetor tangente T(t) em relação a t, ou seja, .
Calculando cada componente:
  • Para a primeira componente:
  • Para a segunda componente:
  • Para a terceira componente:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário N(t). Para isso, vamos normalizar o vetor .
Primeiro, calculamos a norma de :
Calculando os termos dentro da raiz:
Então,
Agora, o vetor normal unitário N(t) é:

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o vetor binormal B(t), que é o produto vetorial entre T(t) e N(t).
Usando os vetores que já calculamos:
Calculando o produto vetorial:
Calculando cada componente:
  • Componente i:
  • Componente j:
  • Componente k:
Simplificando a componente k:
Portanto,

Resposta

O triedro de Frenet {T, N, B} para a curva em um ponto arbitrário t é dado por:

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