Obtenha o triedro de Frenet em um ponto arbitrário de ;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, definida pela função
O objetivo é encontrar o triedro de Frenet em um ponto qualquer dessa curva. Isso faz parte do estudo de Geometria Diferencial de Curvas, onde analisamos como a curva se comporta no espaço.
Para resolver isso, vamos precisar calcular:
A derivada da curva para encontrar o vetor tangente.
Normalizar esse vetor para obter o vetor unitário tangente .
Encontrar a derivada de e normalizá-la para obter o vetor normal .
Finalmente, calcular o produto vetorial de e para encontrar o vetor binormal .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da curva em relação a . Isso nos dará o vetor velocidade da curva.
A derivada de é:
Calculando cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, precisamos normalizar o vetor , ou seja, dividir pela sua norma.
Primeiro, calculamos a norma de :
Simplificando:
Expandindo os termos dentro da raiz:
Então,
Agora, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada do vetor tangente em relação a , ou seja, .
Calculando cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário . Para isso, vamos normalizar o vetor .
Primeiro, calculamos a norma de :
Calculando os termos dentro da raiz:
Então,
Agora, o vetor normal unitário é:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar o vetor binormal , que é o produto vetorial entre e .
Usando os vetores que já calculamos:
Calculando o produto vetorial:
Calculando cada componente:
Componente i:
Componente j:
Componente k:
Simplificando a componente k:
Portanto,
Resposta
O triedro de Frenet {T, N, B} para a curva em um ponto arbitrário t é dado por: