Esboce o gráfico da função f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = e^(-y).

Passo 1

Beleza, então a gente tem que esboçar o gráfico da função . Essa função é uma função de duas variáveis ( e ) que mapeia para um valor real. Vamos usar conceitos de gráficos 3D para visualizar isso. Pra resolver, vamos precisar entender como cada variável influencia o resultado e como isso se traduz em um gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Nota que o resultado depende apenas de e não de . Isso significa que, para qualquer valor de , o valor de é o mesmo se for igual. Em termos de gráfico, isso vai criar planos paralelos ao eixo .

Passo 3

Vamos entender o que faz. A função exponencial diminui à medida que aumenta. Quando , . Conforme vai aumentando, tende a 0. E se for negativo, cresce, pois .

Passo 4

Agora, vamos pensar em como isso fica no gráfico. Como não depende de , se a gente cortar o gráfico em qualquer plano paralelo ao eixo , a curva vai ser . Então, ao longo de , o gráfico vai ser uma superfície plana que segue a curva na direção do .

Passo 5

Para esboçar, imagine o seguinte:
  • No plano , temos .
  • Conforme aumenta, diminui exponencialmente, aproximando-se de 0.
  • Conforme diminui (valores negativos de ), cresce exponencialmente.
Isso cria uma superfície que se estende infinitamente ao longo do eixo , com variação apenas no eixo .

Passo 6

Então, no gráfico 3D:
  • O eixo vai controlar a altura .
  • O eixo vai ser paralelo à superfície, sem influenciar .
  • A superfície vai parecer uma “parede” que decaí exponencialmente em uma direção e cresce na outra.

Resposta

O gráfico da função é uma superfície plana que se estende infinitamente ao longo do eixo e cuja altura diminui exponencialmente conforme aumenta. Visualmente, é uma “parede” que segue a curva ao longo de todo o eixo .

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