Calcule a equação da reta tangente à curva de interseção entre a superfície
e o plano
no ponto
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado nos pede para encontrar a equação da reta tangente à curva de interseção entre a superfície
e o plano
no ponto
. Vamos usar cálculo multivariável para resolver isso. Precisamos entender como essas duas superfícies se cruzam e, em seguida, determinar a reta que toca essa curva no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção entre a superfície
e o plano
. Para isso, substituímos
por 0 na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é definida por
e
. Isso significa que a curva é uma linha reta paralela ao eixo
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor tangente a essa curva no ponto
. Como a curva é uma linha reta paralela ao eixo
, o vetor tangente será na direção do eixo
. Podemos representar esse vetor como
.
Passo 4
Com o ponto
e o vetor tangente
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde
é o ponto inicial e
é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Isso nos dá as equações paramétricas:
Resposta
A equação da reta tangente à curva de interseção no ponto
é dada pelas equações paramétricas: