Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine © lim t 0(r(t) cdot r^prime(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor posição e pede para calcularmos o limite quando se aproxima de 0 de .
Aqui, estamos trabalhando com produto escalar entre vetores e cálculo de limites. Vamos precisar saber como derivar vetores e calcular o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de r(t) = cos t, i + sen t, j + k em relação a r^, prime(t) = -sen t, i + cos t, j + 0, k = -sen t, i + cos t, j , ou seja, .
Sabemos que para derivar um vetor, derivamos cada componente separadamente:
Derivando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
O produto escalar de dois vetores r(t) cdot r^, prime(t) = (cos t)(-sen t) + (sen t)(cos t) + (1)(0) e r(t) cdot r^, prime(t) = -cos t sen t + sen t cos t + 0 = 0 é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite conforme limt 0 ( r(t) cdot r^, prime(t) ) = limt 0 0 = 0 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a .

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