Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos x infty, x -infty, e x a onde a é um ponto onde f(x) não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador < ou = ou > do grau do denominador.
lim 5 x^2-3 x+2x^3-1 (a função não é definida em x=1; então calcule também o limite lim x 1.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos calcular os limites quando tende ao infinito ( ), menos infinito ( ) e quando se aproxima de 1, que é um ponto onde a função não está definida. Para isso, vamos analisar o comportamento dos polinômios no numerador e no denominador, especialmente observando os graus de cada um.

Passo 2

Limite quando limx to infty 5x^2 - 3x + 2x^3 - 1 = 0 :
Primeiro, vamos olhar para os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o grau é 2 (por causa de ), e no denominador, o grau é 3 (por causa de ). Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite tende a zero.
Matematicamente:

Passo 3

Limite quando limx to -infty 5x^2 - 3x + 2x^3 - 1 = 0 :
A lógica aqui é a mesma do caso anterior. O denominador tem grau maior que o numerador, então o limite também tende a zero, mesmo quando vai para menos infinito.
Matematicamente:

Passo 4

Limite quando x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) :
Aqui, a função não está definida em 5(1)^2 - 3(1) + 2 = 5 - 3 + 2 = 4 , então vamos analisar o comportamento dos limites laterais (quando 4(x - 1)(positivo) se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda).
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
No numerador, substituindo :
Então, perto de , a função fica aproximadamente:
  • Se se aproxima de 1 pela direita ( ), é positivo, então tende a .
  • Se se aproxima de 1 pela esquerda ( ), é negativo, então tende a .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

limx to infty 5x^2 - 3x + 2x^3 - 1 = 0
limx to -infty 5x^2 - 3x + 2x^3 - 1 = 0
limx to 1 5x^2 - 3x + 2x^3 - 1 não existe ã

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