Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
(a função não é definida em
; então calcule também o limite
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos calcular os limites quando
tende ao infinito (
), menos infinito (
) e quando
se aproxima de 1, que é um ponto onde a função não está definida. Para isso, vamos analisar o comportamento dos polinômios no numerador e no denominador, especialmente observando os graus de cada um.
Passo 2
Limite quando
:
Primeiro, vamos olhar para os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o grau é 2 (por causa de
), e no denominador, o grau é 3 (por causa de
). Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite tende a zero.
Matematicamente:
Passo 3
Limite quando
:
A lógica aqui é a mesma do caso anterior. O denominador tem grau maior que o numerador, então o limite também tende a zero, mesmo quando
vai para menos infinito.
Matematicamente:
Passo 4
Limite quando
:
Aqui, a função não está definida em
, então vamos analisar o comportamento dos limites laterais (quando
se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda).
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
No numerador, substituindo
:
Então, perto de
, a função fica aproximadamente:
- Se
se aproxima de 1 pela direita ( ), é positivo, então tende a . - Se
se aproxima de 1 pela esquerda ( ), é negativo, então tende a .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função pontos
e
.
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função
Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função
nos pontos
e
.