Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
(a função não é definida em ; então calcule também o limite .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos calcular os limites quando tende ao infinito ( ), menos infinito ( ) e quando se aproxima de 1, que é um ponto onde a função não está definida. Para isso, vamos analisar o comportamento dos polinômios no numerador e no denominador, especialmente observando os graus de cada um.

Passo 2

Limite quando :
Primeiro, vamos olhar para os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o grau é 2 (por causa de ), e no denominador, o grau é 3 (por causa de ). Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite tende a zero.
Matematicamente:

Passo 3

Limite quando :
A lógica aqui é a mesma do caso anterior. O denominador tem grau maior que o numerador, então o limite também tende a zero, mesmo quando vai para menos infinito.
Matematicamente:

Passo 4

Limite quando :
Aqui, a função não está definida em , então vamos analisar o comportamento dos limites laterais (quando se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda).
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
No numerador, substituindo :
Então, perto de , a função fica aproximadamente:
  • Se se aproxima de 1 pela direita ( ), é positivo, então tende a .
  • Se se aproxima de 1 pela esquerda ( ), é negativo, então tende a .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

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© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
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(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
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