Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente precisa achar a equação da reta tangente à curva da função
no ponto onde
. Isso envolve conhecimentos de derivadas e geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a reta tangente a uma curva num ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Isso significa substituir
por
na função
:
Aqui, usamos as funções trigonométrica, exponencial e logarítmica.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente. Vamos derivar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Então, a derivada completa fica:
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos calcular
substituindo
por
:
Sabemos que
, então:
Essa será a inclinação da nossa reta tangente.
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da reta tangente (forma ponto-inclinação):
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando, temos a equação da reta tangente no ponto
.
Resposta
A equação da reta tangente em
é:
Exercícios relacionados
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados.
em
.
Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação
em torno do eixo
, supondo
.
Represente geometricamente a região cuja área é calculada por
Resolva as equações diferenciais: