Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente precisa achar a equação da reta tangente à curva da função no ponto onde . Isso envolve conhecimentos de derivadas e geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a reta tangente a uma curva num ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso significa substituir por na função :
Aqui, usamos as funções trigonométrica, exponencial e logarítmica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente. Vamos derivar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Então, a derivada completa fica:

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos calcular substituindo por :
Sabemos que , então:
Essa será a inclinação da nossa reta tangente.

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da reta tangente (forma ponto-inclinação):
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando, temos a equação da reta tangente no ponto .

Resposta

A equação da reta tangente em é:

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