Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente aprende a encontrar funções que mudam de acordo com certas condições. Pra resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa separar as variáveis. Nosso objetivo é colocar todas as coisas que envolvem
de um lado e as que envolvem
do outro. Olhando para a equação:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para mover o termo que envolve
para o lado esquerdo.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A gente tem:
Vamos resolver cada integral:
- Lado esquerdo:
A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
- Lado direito:
Aqui, usamos a regra da potência para integrar
(que é
).
Passo 4
Vamos igualar as duas expressões integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Nosso objetivo agora é isolar
. Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para facilitar:
Podemos renomear
como apenas
(já que é uma constante qualquer):
Agora, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o exponencial:
Finalmente, dividimos por 2 para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Represente geometricamente a região cuja área é calculada por
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
;
Determine
que satisfaça as condições dadas.
.
Mostre que as funções
e
, em que
e
são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial
. Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.