Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver: . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente aprende a encontrar funções que mudam de acordo com certas condições. Pra resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa separar as variáveis. Nosso objetivo é colocar todas as coisas que envolvem de um lado e as que envolvem do outro. Olhando para a equação:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para mover o termo que envolve para o lado esquerdo.

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A gente tem:
Vamos resolver cada integral:
  1. Lado esquerdo:
A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.
  1. Lado direito:
Aqui, usamos a regra da potência para integrar (que é ).

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes e em uma única constante :

Passo 5

Nosso objetivo agora é isolar . Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para facilitar:
Podemos renomear como apenas (já que é uma constante qualquer):
Agora, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o exponencial:
Finalmente, dividimos por 2 para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Represente geometricamente a região cuja área é calculada por
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;
Determine que satisfaça as condições dadas. .
Mostre que as funções e , em que e são constantes arbitrárias, são soluções para a equação diferencial . Em seguida, verifique se a soma das duas soluções também é solução da equação diferencial.