Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação em torno do eixo , supondo $0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um toro, que é tipo um "donut", formado quando giramos um círculo em torno do eixo . A equação do círculo é , e sabemos que . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato do círculo que estamos girando. A equação representa um círculo com raio e centrado no ponto no plano . Isso significa que o círculo está acima do eixo a uma distância .
Passo 3
Como vamos girar esse círculo em torno do eixo , cada ponto do círculo vai descrever um círculo no espaço, formando o toro. Para calcular o volume, podemos usar o método dos discos, onde integramos as áreas das fatias circulares infinitesimais ao longo do eixo de rotação.
Passo 4
Vamos expressar em função de a partir da equação do círculo:
Isso nos dá as funções superior e inferior do círculo.
Passo 5
No método dos discos, a área de cada "fatia" circular é , onde é a distância do ponto ao eixo de rotação. Aqui, . Portanto, a área da seção é:
No entanto, como o círculo está centrado em , a distância do eixo é constante , e a área da seção é baseada nisso.
Passo 6
Uma maneira mais simples é reconhecer que estamos formando um toro, que é um sólido de revolução gerado pela rotação de um círculo em torno de um eixo externo. A fórmula para o volume do toro é:
onde é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação, e é o raio do círculo.
Passo 7
Identificando os valores no nosso caso:
- (distância do centro do círculo ao eixo )
- (raio do círculo)
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Resposta
O volume do toro é .
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(a)
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Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados. em .
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;