Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação
em torno do eixo
, supondo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um toro, que é tipo um “donut”, formado quando giramos um círculo em torno do eixo
. A equação do círculo é
, e sabemos que
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato do círculo que estamos girando. A equação
representa um círculo com raio
e centrado no ponto
no plano
. Isso significa que o círculo está acima do eixo
a uma distância
.
Passo 3
Como vamos girar esse círculo em torno do eixo
, cada ponto do círculo vai descrever um círculo no espaço, formando o toro. Para calcular o volume, podemos usar o método dos discos, onde integramos as áreas das fatias circulares infinitesimais ao longo do eixo de rotação.
Passo 4
Vamos expressar
em função de
a partir da equação do círculo:
Isso nos dá as funções superior e inferior do círculo.
Passo 5
No método dos discos, a área de cada “fatia” circular é
, onde
é a distância do ponto ao eixo de rotação. Aqui,
. Portanto, a área da seção é:
No entanto, como o círculo está centrado em
, a distância do eixo é constante
, e a área da seção é baseada nisso.
Passo 6
Uma maneira mais simples é reconhecer que estamos formando um toro, que é um sólido de revolução gerado pela rotação de um círculo em torno de um eixo externo. A fórmula para o volume do toro é:
onde
é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação, e
é o raio do círculo.
Passo 7
Identificando os valores no nosso caso:
-
(distância do centro do círculo ao eixo ) -
(raio do círculo)
Passo 8
Substituindo na fórmula:
Resposta
O volume do toro é
.