Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação x^2 + (y - b)^2 = a^2 em torno do eixo x, supondo 0 < a < b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um toro, que é tipo um “donut”, formado quando giramos um círculo em torno do eixo . A equação do círculo é , e sabemos que . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o formato do círculo que estamos girando. A equação representa um círculo com raio e centrado no ponto no plano . Isso significa que o círculo está acima do eixo a uma distância .

Passo 3

Como vamos girar esse círculo em torno do eixo , cada ponto do círculo vai descrever um círculo no espaço, formando o toro. Para calcular o volume, podemos usar o método dos discos, onde integramos as áreas das fatias circulares infinitesimais ao longo do eixo de rotação.

Passo 4

Vamos expressar em função de a partir da equação do círculo:
Isso nos dá as funções superior e inferior do círculo.

Passo 5

No método dos discos, a área de cada “fatia” circular é , onde é a distância do ponto ao eixo de rotação. Aqui, . Portanto, a área da seção é:
No entanto, como o círculo está centrado em , a distância do eixo é constante , e a área da seção é baseada nisso.

Passo 6

Uma maneira mais simples é reconhecer que estamos formando um toro, que é um sólido de revolução gerado pela rotação de um círculo em torno de um eixo externo. A fórmula para o volume do toro é:
onde é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação, e é o raio do círculo.

Passo 7

Identificando os valores no nosso caso:
  • (distância do centro do círculo ao eixo )
  • (raio do círculo)

Passo 8

Substituindo na fórmula:

Resposta

O volume do toro é .

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