Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela para encontrar o valor que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada
de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação de
quando
se aproxima de zero. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função
no ponto
. Vamos substituir
por
:
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Passo 6
Para simplificar, podemos fatorar
da expressão:
Passo 7
Agora, vamos expandir
usando a expansão em série de Taylor para
, onde
:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 9
Simplificando a fração:
Passo 10
Agora, aplicando o limite quando
tende a zero:
Resposta
Portanto, a derivada de
no ponto
é: