Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados. em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela para encontrar o valor que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação de quando se aproxima de zero. Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função no ponto . Vamos substituir por :

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada:

Passo 6

Para simplificar, podemos fatorar da expressão:

Passo 7

Agora, vamos expandir usando a expansão em série de Taylor para , onde :
é
Então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 9

Simplificando a fração:

Passo 10

Agora, aplicando o limite quando tende a zero:

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é:

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