Considere a região
delimitada simultaneamente pelas curvas
e
.
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região
.
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região
é rotacionada em torno do eixo
.
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região
é rotacionada em torno da reta
.
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a região
que está delimitada pelas curvas
e
. Vamos trabalhar com cálculo integral para encontrar o perímetro dessa região e os volumes resultantes de rotações em torno de certos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas
e
. Essas curvas se cruzam em alguns pontos que vão delimitar a região
. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Isso nos dá
, ou seja,
. Portanto, as soluções são
e
. Então, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar o perímetro da região
, precisamos calcular os comprimentos das curvas
e
entre os pontos de interseção. O perímetro será a soma desses comprimentos.
Passo 4
A fórmula para o comprimento de uma curva
entre
e
é:
Vamos aplicar isso para
.
Passo 5
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Então, o comprimento da curva
entre
e
é:
Passo 6
Agora, vamos considerar a curva
. Para encontrar o comprimento dessa curva, podemos reescrever a fórmula do comprimento em termos de
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 7
Calculamos a derivada de
:
Então, o comprimento da curva
entre
e
é:
Passo 8
Finalmente, o perímetro total
da região
é a soma dos comprimentos das duas curvas:
Resposta
A integral que permite calcular o perímetro da região
é:
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva
, com
, em torno do eixo
.
A posição de uma partícula, num instante
, é dada por
e
. Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes
e
.
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
;
Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão utilizando
como variável independente.