Considere a região delimitada simultaneamente pelas curvas e .
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região .
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno do eixo .
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a região que está delimitada pelas curvas e . Vamos trabalhar com cálculo integral para encontrar o perímetro dessa região e os volumes resultantes de rotações em torno de certos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas e . Essas curvas se cruzam em alguns pontos que vão delimitar a região . Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Isso nos dá , ou seja, . Portanto, as soluções são e . Então, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, para encontrar o perímetro da região , precisamos calcular os comprimentos das curvas e entre os pontos de interseção. O perímetro será a soma desses comprimentos.

Passo 4

A fórmula para o comprimento de uma curva entre e é:
Vamos aplicar isso para .

Passo 5

Primeiro, calculamos a derivada de :
Então, o comprimento da curva entre e é:

Passo 6

Agora, vamos considerar a curva . Para encontrar o comprimento dessa curva, podemos reescrever a fórmula do comprimento em termos de :
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 7

Calculamos a derivada de :
Então, o comprimento da curva entre e é:

Passo 8

Finalmente, o perímetro total da região é a soma dos comprimentos das duas curvas:

Resposta

A integral que permite calcular o perímetro da região é:

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Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva , com , em torno do eixo .
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Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;
Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão utilizando como variável independente.