Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte afirmação: “Se a série
converge, então
.” Vamos analisar se isso é verdadeiro ou se existe algum contra-exemplo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries numéricas e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, o que é uma série? É basicamente a soma de uma sequência de termos, nesse caso,
. Quando a gente diz que a série converge, significa que, ao somar esses termos, a soma vai se aproximando de um número específico, em vez de ficar crescendo sem limites.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
aumenta (ou seja, conforme a gente olha para termos mais e mais da sequência), os termos
ficam cada vez menores, se aproximando de zero.
Passo 4
Existe um teorema importante na matemática que diz exatamente isso: Se uma série
converge, então o limite dos termos
, quando
tende ao infinito, é zero. Em outras palavras, se a soma dos termos está se estabilizando em algum valor finito, os próprios termos têm que estar diminuindo para zero.
Passo 5
Para entender por que isso acontece, pense no seguinte: se os termos
não estão chegando perto de zero, a soma desses termos não vai conseguir se estabilizar. Por exemplo, se os termos ficam sempre iguais a um número positivo, a soma vai continuar aumentando sem parar.
Passo 6
Então, não só o teorema confirma que a afirmação é verdadeira, como também a lógica por trás disso mostra que se
não tende a zero, a série não pode convergir.
Resposta
Verdadeiro. Se a série
converge, então
.
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Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
;
Construa um problema de valor inicial que descreva a quantidade de contaminante no lago em função do tempo.
onde
e
são constantes positivas.
a) Resolva o problema de valor inicial para .
a) Resolva o problema de valor inicial para