Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série converge, então .

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte afirmação: “Se a série converge, então .” Vamos analisar se isso é verdadeiro ou se existe algum contra-exemplo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries numéricas e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, o que é uma série? É basicamente a soma de uma sequência de termos, nesse caso, . Quando a gente diz que a série converge, significa que, ao somar esses termos, a soma vai se aproximando de um número específico, em vez de ficar crescendo sem limites.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o que significa . Isso quer dizer que, conforme aumenta (ou seja, conforme a gente olha para termos mais e mais da sequência), os termos ficam cada vez menores, se aproximando de zero.

Passo 4

Existe um teorema importante na matemática que diz exatamente isso: Se uma série converge, então o limite dos termos , quando tende ao infinito, é zero. Em outras palavras, se a soma dos termos está se estabilizando em algum valor finito, os próprios termos têm que estar diminuindo para zero.

Passo 5

Para entender por que isso acontece, pense no seguinte: se os termos não estão chegando perto de zero, a soma desses termos não vai conseguir se estabilizar. Por exemplo, se os termos ficam sempre iguais a um número positivo, a soma vai continuar aumentando sem parar.

Passo 6

Então, não só o teorema confirma que a afirmação é verdadeira, como também a lógica por trás disso mostra que se não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

Verdadeiro. Se a série converge, então .

Exercícios relacionados

Faça a substituição e escreva a EDO correspondente nas variáveis e .
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: ;
Construa um problema de valor inicial que descreva a quantidade de contaminante no lago em função do tempo.
onde e são constantes positivas.
a) Resolva o problema de valor inicial para .