Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série sum an converge, então an 0.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte afirmação: “Se a série sum an converge, então an 0.” Vamos analisar se isso é verdadeiro ou se existe algum contra-exemplo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries numéricas e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, o que é uma série? É basicamente a soma de uma sequência de termos, nesse caso, a1 + a2 + a3 + dots. Quando a gente diz que a série converge, significa que, ao somar esses termos, a soma vai se aproximando de um número específico, em vez de ficar crescendo sem limites.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o que significa an 0. Isso quer dizer que, conforme n aumenta (ou seja, conforme a gente olha para termos mais e mais da sequência), os termos an ficam cada vez menores, se aproximando de zero.

Passo 4

Existe um teorema importante na matemática que diz exatamente isso: Se uma série sum an converge, então o limite dos termos an, quando n tende ao infinito, é zero. Em outras palavras, se a soma dos termos está se estabilizando em algum valor finito, os próprios termos têm que estar diminuindo para zero.

Passo 5

Para entender por que isso acontece, pense no seguinte: se os termos an não estão chegando perto de zero, a soma desses termos não vai conseguir se estabilizar. Por exemplo, se os termos ficam sempre iguais a um número positivo, a soma vai continuar aumentando sem parar.

Passo 6

Então, não só o teorema confirma que a afirmação é verdadeira, como também a lógica por trás disso mostra que se an não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

Verdadeiro. Se a série sum an converge, então an 0.

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