Calcule o erro decorrente de tomarmos a diferencial dz como uma aproximação do acréscimo Delta z, para as seguintes situações.
a) z = x^2 + y^3; quando (x, y) passa de 1 ; 2 para (1,01 ; 2,01).

Passo 1

Beleza, a questão tá pedindo pra gente calcular o erro que surge quando a gente usa a diferencial pra aproximar o acréscimo na função . Isso acontece quando os valores de e mudam de para . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o acréscimo real . Isso é simplesmente a diferença entre o valor de nos novos pontos e o valor original de .
Calculando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferencial . A diferencial é uma aproximação linear para e é dada por:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de :
No ponto :
Os incrementos são e . Então:

Passo 4

Por fim, o erro é a diferença entre o acréscimo real e a diferencial :

Resposta

O erro é aproximadamente .

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