Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função
em vários aspectos: encontrar o domínio, a imagem, descrever as curvas de nível, determinar a fronteira do domínio, verificar se o domínio é uma região aberta ou fechada, e decidir se o domínio é limitado ou não. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis, logaritmos e geometria analítica.
Passo 2
a) Encontrar o domínio da função
Primeiro, precisamos encontrar o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. A função logarítmica
só está definida quando
. Então, temos:
Resolvendo essa inequação:
Isso descreve o interior de um círculo com raio 3 e centro na origem.
Passo 3
b) Encontrar a imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural
está definido para
, e à medida que
varia de
a
,
varia de
até
.
Então, a imagem de
é:
Passo 4
c) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são aquelas onde a função assume um valor constante. Vamos definir
, onde
é constante. Então:
Rearranjando:
Isso representa círculos com raio
, centrados na origem. À medida que
aumenta,
aumenta, e o raio diminui.
Passo 5
d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira do domínio são os pontos onde a função “limita”. Do domínio
, a fronteira é o círculo onde
. Assim, a fronteira é:
Passo 6
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
Uma região aberta não inclui sua fronteira, enquanto uma região fechada inclui sua fronteira. Como nosso domínio é
, ele não inclui a fronteira
. Portanto, o domínio é uma região aberta.
Passo 7
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como nosso domínio é o interior de um círculo de raio 3, ele está definitivamente dentro desse limite. Portanto, o domínio é limitado.
Resposta
a) O domínio da função é o conjunto de pontos
tais que
.
b) A imagem da função é
.
c) As curvas de nível são círculos concêntricos à origem com equações
.
d) A fronteira do domínio é o círculo
.
e) O domínio é uma região aberta.
f) O domínio é limitado.