Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
f(x, y) = ln(9 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função em vários aspectos: encontrar o domínio, a imagem, descrever as curvas de nível, determinar a fronteira do domínio, verificar se o domínio é uma região aberta ou fechada, e decidir se o domínio é limitado ou não. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis, logaritmos e geometria analítica.

Passo 2

a) Encontrar o domínio da função
Primeiro, precisamos encontrar o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. A função logarítmica só está definida quando . Então, temos:
Resolvendo essa inequação:
Isso descreve o interior de um círculo com raio 3 e centro na origem.

Passo 3

b) Encontrar a imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural está definido para , e à medida que varia de a , varia de até .
Então, a imagem de é:

Passo 4

c) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são aquelas onde a função assume um valor constante. Vamos definir , onde é constante. Então:
Rearranjando:
Isso representa círculos com raio , centrados na origem. À medida que aumenta, aumenta, e o raio diminui.

Passo 5

d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira do domínio são os pontos onde a função “limita”. Do domínio , a fronteira é o círculo onde . Assim, a fronteira é:

Passo 6

e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
Uma região aberta não inclui sua fronteira, enquanto uma região fechada inclui sua fronteira. Como nosso domínio é , ele não inclui a fronteira . Portanto, o domínio é uma região aberta.

Passo 7

f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como nosso domínio é o interior de um círculo de raio 3, ele está definitivamente dentro desse limite. Portanto, o domínio é limitado.

Resposta

a) O domínio da função é o conjunto de pontos tais que .
b) A imagem da função é .
c) As curvas de nível são círculos concêntricos à origem com equações .
d) A fronteira do domínio é o círculo .
e) O domínio é uma região aberta.
f) O domínio é limitado.

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