Estude com relação a máximos e mínimos locais as funções abaixo.
b) f(x, y) = x^3 - y^2 + x*y - 5.

Passo 1

Vamos analisar a questão de encontrar os máximos e mínimos locais da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, podemos expressar em função de :
Substituindo na primeira equação:
Então, ou
Correspondente a cada :
Para :
Para :
Portanto, temos dois pontos críticos: e

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
Para :
Como e , esse ponto é um máximo local.

Resposta

A função possui um ponto de sela em e um máximo local em .

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