Estude com relação a máximos e mínimos locais as funções abaixo.
b)
.
b)
Passo 1
Vamos analisar a questão de encontrar os máximos e mínimos locais da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na primeira equação:
Então,
ou
Correspondente a cada
:
Para
:
Para
:
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, esse ponto é um máximo local.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
e um máximo local em
.