Determine a taxa de variação máxima de fno ponto P e a direção em que isso ocorre.
a) f(x, y) = y^2 / x ; P = (2, 4) ; b) f(x, y) = y e^(-x) + x e^(-y) ; P = (0, 0)

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. A questão nos pede para encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e a direção em que isso ocorre. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e ao vetor gradiente em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 3

A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

O vetor gradiente de no ponto é dado por:
Esse vetor aponta na dire��ão de maior aumento da função.

Passo 6

A taxa de variação máxima é a magnitude do vetor gradiente. Calculamos assim:
á

Passo 7

Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
çã
Isso indica a direção em que a função cresce mais rapidamente.

Passo 8

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. A função é no ponto .

Passo 9

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 10

Avaliando no ponto :

Passo 11

O vetor gradiente no ponto é:
A taxa máxima de variação é a magnitude desse vetor:

Passo 12

A direção da taxa máxima de variação é a direção do vetor gradiente, que, neste caso, é na direção de .

Resposta

a) A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção .
b) A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção .

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