Determine a taxa de variação máxima de fno ponto
e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. A questão nos pede para encontrar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e a direção em que isso ocorre. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e ao vetor gradiente em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
O vetor gradiente de
no ponto
é dado por:
Esse vetor aponta na dire��ão de maior aumento da função.
Passo 6
A taxa de variação máxima é a magnitude do vetor gradiente. Calculamos assim:
Passo 7
Para encontrar a direção, normalizamos o vetor gradiente:
Isso indica a direção em que a função cresce mais rapidamente.
Passo 8
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. A função é
no ponto
.
Passo 9
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 10
Avaliando no ponto
:
Passo 11
O vetor gradiente no ponto
é:
A taxa máxima de variação é a magnitude desse vetor:
Passo 12
A direção da taxa máxima de variação é a direção do vetor gradiente, que, neste caso, é na direção de
.
Resposta
a) A taxa de variação máxima de
no ponto
é
e ocorre na direção
.
b) A taxa de variação máxima de
no ponto
é
e ocorre na direção
.