Para a hélice circular sigma(t) = (cos(t), sen(t), t), determine os vetores T, N e B.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os vetores , e para a hélice circular . O conteúdo envolve cálculo de vetores unitários e derivadas, especificamente os vetores do referencial Frenet-Serret. Para isso, precisamos calcular a derivada de , normalizá-la para encontrar , depois encontrar a derivada de , normalizá-la para obter , e finalmente calcular o produto vetorial de e para encontrar .

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade:

Passo 3

Agora, encontramos o vetor unitário tangente normalizando . A norma de é:
Portanto,

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal principal normalizando . A norma de é:
Portanto,

Passo 6

Finalmente, calculamos o vetor binormal como o produto vetorial de e :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Resposta

Os vetores são:

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