Calcule e esboce os conjuntos descritos nos itens a seguir:
A intersecção do elipsóide de centro
, cujos cortes pelos planos
e
são respectivamente as cônicas
e
, com o plano
.
A intersecção do elipsóide de centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular e desenhar a interseção de um elipsóide com o plano
. Pra isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente envolvendo equações de superfícies e planos. Vamos precisar entender como combinar as equações do elipsóide com a do plano pra achar essa interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do elipsóide. Sabemos que os cortes nos planos
,
e
são as cônicas dadas:
- No plano
: - No plano
: - No plano
:
A partir desses cortes, podemos deduzir a equação geral do elipsóide.
Passo 3
Sabemos que a equação padrão de um elipsóide centrado na origem é:
Onde
,
, e
são os semi-eixos.
Vamos comparar isso com os cortes que temos:
- No plano
: . Mas como não aparece, isso sugere que não está envolvido nesse corte específico. - No plano
: - No plano
:
Dessa forma, podemos identificar que:
-
-
-
precisamos descobrir a partir de outro corte ou informação.
No entanto, notamos que no corte
, o termo de
não está presente, o que sugere que o elipsóide é simétrico em relação ao eixo
, e podemos assumir
para simplificar, já que não há restrição no corte
.
Então, a equação do elipsóide fica:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a interseção desse elipsóide com o plano
. Para isso, vamos substituir
na equação do elipsóide pela expressão
.
Substituindo na equação do elipsóide:
Vamos expandir
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Simplificando:
Essa é a equação da curva de interseção entre o elipsóide e o plano
.
Passo 6
Para esboçar essa curva, podemos tentar diagonalizar a equação para eliminar o termo
. Vamos usar uma rotação de coordenadas para isso.
A fórmula para eliminar o termo
é:
Onde
,
, e
.
Calculando:
Com essa rotação, a equação se torna uma elipse alinhada com os novos eixos, facilitando o esboço.
Resposta
A interseção do elipsóide com o plano
é uma elipse cuja equação após rotação dos eixos é
. O esboço dessa curva resulta em uma elipse inclinada no espaço, alinhada de acordo com a rotação de
para eliminar o termo
.