Calcule e esboce os conjuntos descritos nos itens a seguir:
A intersecção do elipsóide de centro C=(0,0,0), cujos cortes pelos planos x=0, y=0 e z=0 são respectivamente as cônicas x^2+2 y^2=1,25 y^2+4 z^2=1 e x^2+z^2=14, com o plano z=x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular e desenhar a interseção de um elipsóide com o plano . Pra isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente envolvendo equações de superfícies e planos. Vamos precisar entender como combinar as equações do elipsóide com a do plano pra achar essa interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do elipsóide. Sabemos que os cortes nos planos , e são as cônicas dadas:
  1. No plano :
  2. No plano :
  3. No plano :
A partir desses cortes, podemos deduzir a equação geral do elipsóide.

Passo 3

Sabemos que a equação padrão de um elipsóide centrado na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Onde 4x^2 + 2y^2 + z^2 = 1 , , e são os semi-eixos.
Vamos comparar isso com os cortes que temos:
  • No plano : . Mas como não aparece, isso sugere que não está envolvido nesse corte específico.
  • No plano :
  • No plano :
Dessa forma, podemos identificar que:
  • precisamos descobrir a partir de outro corte ou informação.
No entanto, notamos que no corte , o termo de não está presente, o que sugere que o elipsóide é simétrico em relação ao eixo , e podemos assumir para simplificar, já que não há restrição no corte .
Então, a equação do elipsóide fica:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a interseção desse elipsóide com o plano 4x^2 + 2y^2 + (x + y)^2 = 1 . Para isso, vamos substituir (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 na equação do elipsóide pela expressão 4x^2 + 2y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 1 .
Substituindo na equação do elipsóide:
Vamos expandir :
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
(4x^2 + x^2) + (2y^2 + y^2) + 2xy = 1
Simplificando:
5x^2 + 3y^2 + 2xy = 1
Essa é a equação da curva de interseção entre o elipsóide e o plano .

Passo 6

Para esboçar essa curva, podemos tentar diagonalizar a equação para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C . Vamos usar uma rotação de coordenadas para isso.
A fórmula para eliminar o termo tan(2theta) = 25 - 3 = 22 = 1 Rightarrow 2theta = 45^circ Rightarrow theta = 22.5^circ é:
Onde , , e .
Calculando:
Com essa rotação, a equação se torna uma elipse alinhada com os novos eixos, facilitando o esboço.

Resposta

A interseção do elipsóide com o plano é uma elipse cuja equação após rotação dos eixos é . O esboço dessa curva resulta em uma elipse inclinada no espaço, alinhada de acordo com a rotação de para eliminar o termo .

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