Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
-x^2+2 x+4 y^2-2 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa identificar qual tipo de quádricas está na equação dada e fazer um esboço destacando os principais elementos, como interseções com os eixos, centro, vértices, entre outros. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quádricas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação da quádricas para facilitar a identificação. A equação dada é:
- x^2 + 2x + 4y^2 - 2z = 1
Vamos rearranjar os termos para agrupar as variáveis semelhantes:
- x^2 + 2x + 4y^2 - 2z = 1

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a variável - x^2 + 2x = - (x^2 - 2x) para simplificar a equação. Isso nos ajuda a identificar o centro e o tipo da quádricas.
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
- (x - 1)^2 + 1 + 4y^2 - 2z = 1
Então, substituindo de volta:
- (x - 1)^2 + 4y^2 - 2z = 0
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar o termo - (x - 1)^2 + 4y^2 = 2z para identificar melhor a equação:
- (x - 1)^22 + 2y^2 = z
Dividindo ambos os lados por 2:
z = - (x - 1)^22 + 2y^2
Ou seja:

Passo 5

Observando a forma final da equação, percebemos que ela representa um paraboloide hiperbólico. Isso porque temos um termo quadrático negativo em e positivo em , e a variável está isolada de forma linear.

Passo 6

Vamos identificar os elementos da quádricas:
  • Centro: O ponto onde a quádricas é simétrica. Aqui, o centro está em 0 = - (x - 1)^22 Rightarrow (x - 1)^2 = 0 Rightarrow x = 1 porque a equação envolve 0 = - (1 - 1)^22 + 2y^2 Rightarrow y = 0 .
  • Interseções com os eixos:
    • Eixo : Para encontrar, fixamos e :
      Então, a interseção com o eixo é no ponto .
    • Eixo : Fixando e :
      Então, a quádricas intersecta o eixo também no ponto .
    • Eixo : Fixando e :
      Já vimos que o ponto é .

Passo 7

Vértices: No caso do paraboloide hiperbólico, ele não tem vértices como as elipses ou hipérbolas, mas o ponto pode ser considerado o ponto de referência.

Passo 8

Esboço: Para desenhar, imagine um saddle (selim de cavalo). O eixo está “virado” para baixo porque o coeficiente de é negativo, e o eixo está “virado” para cima devido ao coeficiente positivo de . O centro está deslocado para .

Resposta

A quádricas dada é um paraboloide hiperbólico com centro no ponto , que intersecta os eixos coordenados apenas neste ponto. O esboço apresenta a forma de um saddle, com o eixo curvando para baixo e o eixo para cima.

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