Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa identificar qual tipo de quádricas está na equação dada e fazer um esboço destacando os principais elementos, como interseções com os eixos, centro, vértices, entre outros. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quádricas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação da quádricas para facilitar a identificação. A equação dada é:
Vamos rearranjar os termos para agrupar as variáveis semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a variável
para simplificar a equação. Isso nos ajuda a identificar o centro e o tipo da quádricas.
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar o termo
para identificar melhor a equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Ou seja:
Passo 5
Observando a forma final da equação, percebemos que ela representa um paraboloide hiperbólico. Isso porque temos um termo quadrático negativo em
e positivo em
, e a variável
está isolada de forma linear.
Passo 6
Vamos identificar os elementos da quádricas:
-
Centro: O ponto onde a quádricas é simétrica. Aqui, o centro está em
porque a equação envolve . -
Interseções com os eixos:
-
Eixo
: Para encontrar, fixamos e : Então, a interseção com o eixoé no ponto . -
Eixo
: Fixando e : Então, a quádricas intersecta o eixotambém no ponto . -
Eixo
: Fixando e :
Já vimos que o ponto é.
-
Passo 7
Vértices: No caso do paraboloide hiperbólico, ele não tem vértices como as elipses ou hipérbolas, mas o ponto
pode ser considerado o ponto de referência.
Passo 8
Esboço: Para desenhar, imagine um saddle (selim de cavalo). O eixo
está “virado” para baixo porque o coeficiente de
é negativo, e o eixo
está “virado” para cima devido ao coeficiente positivo de
. O centro está deslocado para
.
Resposta
A quádricas dada é um paraboloide hiperbólico com centro no ponto
, que intersecta os eixos coordenados apenas neste ponto. O esboço apresenta a forma de um saddle, com o eixo
curvando para baixo e o eixo
para cima.