Calcule e esboce os conjuntos descritos nos itens a seguir:
A intersecção da esfera de raio 3 e centro
e o plano
.
A intersecção da esfera de raio 3 e centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a intersecção entre uma esfera e um plano. A esfera tem raio 3 e centro no ponto
, e o plano é definido pela equação
. Para isso, vamos precisar entender as equações da esfera e do plano, e depois encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera. A equação geral de uma esfera com centro
e raio
é:
No nosso caso, o centro
e o raio
. Substituindo esses valores na equação, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação do plano
. Isso significa que, em qualquer ponto desse plano, a coordenada
é sempre 1. Para encontrar a intersecção entre o plano e a esfera, vamos substituir
na equação da esfera.
Passo 4
Substituindo
na equação da esfera, temos:
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos isolar os termos que envolvem
e
:
Isso representa a equação de um círculo no plano
, com centro em
e raio
.
Resposta
A intersecção da esfera de raio 3 e centro
com o plano
é um círculo no plano
com centro em
e raio
.