Calcule e esboce os conjuntos descritos nos itens a seguir:
A intersecção da esfera de raio 3 e centro C=(-1,0,1) e o plano y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a intersecção entre uma esfera e um plano. A esfera tem raio 3 e centro no ponto , e o plano é definido pela equação . Para isso, vamos precisar entender as equações da esfera e do plano, e depois encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera. A equação geral de uma esfera com centro (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 e raio (x + 1)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 = 3^2 é:
(x + 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 9
No nosso caso, o centro e o raio . Substituindo esses valores na equação, temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação do plano . Isso significa que, em qualquer ponto desse plano, a coordenada é sempre 1. Para encontrar a intersecção entre o plano e a esfera, vamos substituir na equação da esfera.

Passo 4

Substituindo (x + 1)^2 + (1)^2 + (z - 1)^2 = 9 na equação da esfera, temos:
(x + 1)^2 + 1 + (z - 1)^2 = 9
Calculando :

Passo 5

Agora, vamos isolar os termos que envolvem (x + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9 - 1 e (x + 1)^2 + (z - 1)^2 = 8 :
Isso representa a equação de um círculo no plano , com centro em e raio .

Resposta

A intersecção da esfera de raio 3 e centro com o plano é um círculo no plano com centro em e raio .

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