Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
Se então .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma afirmação envolvendo a multiplicação de duas matrizes e . A afirmação diz: "Se , então ". Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre a multiplicação de matrizes e propriedades do elemento zero nesse contexto.
Passo 2
Vamos entender o que significa . Aqui, representa a matriz nula, ou seja, uma matriz onde todos os elementos são zero. Quando multiplicamos duas matrizes e e o resultado é a matriz nula, isso não necessariamente implica que a multiplicação na ordem inversa () também seja a matriz nula.
Passo 3
Para verificar se a afirmação é verdadeira sempre, ou se existe algum caso em que ela não se aplica, podemos tentar encontrar um exemplo onde , mas .
Passo 4
Vamos considerar matrizes quadradas 2x2 para facilitar os cálculos. Seja:
Passo 5
Multiplicando por :
Então, .
Passo 6
Agora, vamos multiplicar por :
Nesse caso, . Porém, esse exemplo não prova que a afirmação é sempre verdadeira, apenas que pode ser verdadeira.
Passo 7
Vamos tentar outro exemplo para ver se conseguimos que mas .
Considere:
Passo 8
Multiplicando por :
Aqui, vemos que , o que não nos ajuda diretamente. Vamos ajustar os exemplos.
Passo 9
Vamos tentar com:
Então:
Ainda não encontramos o caso desejado. Vamos tentar com matrizes não nulas.
Passo 10
Considere:
Multiplicando:
Agora, .
Multiplicando por :
Ainda não encontramos o caso desejado.
Passo 11
Finalmente, consideremos matrizes não quadradas. Seja:
Multiplicando AB = 1 times 0 + 0 times 0 + 0 times 0 & 1 times 0 + 0 times 0 + 0 times 1 0 times 0 + 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 0 + 0 times 1 = 0 & 0 0 & 0 = 0 por BA = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 times 1 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 0 0 times 1 + 0 times 0 & 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 0 + 1 times 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 :
Agora, multiplicando por :
Ainda não obtivemos .
Passo 12
Após várias tentativas, percebemos que encontrar um exemplo onde mas pode ser mais complexo e depende das dimensões das matrizes. No entanto, em matrizes quadradas de ordem 2, geralmente implica . Mas, em dimensões superiores ou em outros contextos algébricos, isso pode não ocorrer.
Resposta
A afirmação é verdadeira no caso de matrizes quadradas onde implica . Porém, em matrizes não quadradas ou em contextos específicos, pode haver casos onde mas . Portanto, a afirmação nem sempre é verdadeira.