Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
Se A B=0 então B A=0.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma afirmação envolvendo a multiplicação de duas matrizes e . A afirmação diz: "Se , então ". Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre a multiplicação de matrizes e propriedades do elemento zero nesse contexto.

Passo 2

Vamos entender o que significa . Aqui, representa a matriz nula, ou seja, uma matriz onde todos os elementos são zero. Quando multiplicamos duas matrizes e e o resultado é a matriz nula, isso não necessariamente implica que a multiplicação na ordem inversa ( ) também seja a matriz nula.

Passo 3

Para verificar se a afirmação é verdadeira sempre, ou se existe algum caso em que ela não se aplica, podemos tentar encontrar um exemplo onde , mas .

Passo 4

Vamos considerar matrizes quadradas 2x2 para facilitar os cálculos. Seja:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1

Passo 5

Multiplicando AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 = (1 times 0) + (0 times 0) & (1 times 0) + (0 times 1) (0 times 0) + (0 times 0) & (0 times 0) + (0 times 1) = 0 & 0 0 & 0 = 0 por :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos multiplicar BA = 0 & 0 0 & 1 1 & 0 0 & 0 = (0 times 1) + (0 times 0) & (0 times 0) + (0 times 0) (0 times 1) + (1 times 0) & (0 times 0) + (1 times 0) = 0 & 0 0 & 0 = 0 por :
Nesse caso, . Porém, esse exemplo não prova que a afirmação é sempre verdadeira, apenas que pode ser verdadeira.

Passo 7

Vamos tentar outro exemplo para ver se conseguimos que A = 0 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0 mas .
Considere:

Passo 8

Multiplicando AB = 0 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = (0 times 0) + (1 times 1) & (0 times 0) + (1 times 0) (0 times 0) + (0 times 1) & (0 times 0) + (0 times 0) = 1 & 0 0 & 0 neq 0 por :
Aqui, vemos que , o que não nos ajuda diretamente. Vamos ajustar os exemplos.

Passo 9

Vamos tentar com:
A = 0 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 0
Então:
AB = 0
BA = 0
Ainda não encontramos o caso desejado. Vamos tentar com matrizes não nulas.

Passo 10

Considere:
A = 1 & 1 1 & 1 , B = 1 & -1 -1 & 1
Multiplicando:
AB = 1 times 1 + 1 times (-1) & 1 times (-1) + 1 times 1 1 times 1 + 1 times (-1) & 1 times (-1) + 1 times 1 = 0 & 0 0 & 0 = 0
Agora, BA = 1 & -1 -1 & 1 1 & 1 1 & 1 = (1 times 1) + (-1 times 1) & (1 times 1) + (-1 times 1) (-1 times 1) + (1 times 1) & (-1 times 1) + (1 times 1) = 0 & 0 0 & 0 = 0 .
Multiplicando por :
Ainda não encontramos o caso desejado.

Passo 11

Finalmente, consideremos matrizes não quadradas. Seja:
A = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 0 0 & 1
Multiplicando AB = 1 times 0 + 0 times 0 + 0 times 0 & 1 times 0 + 0 times 0 + 0 times 1 0 times 0 + 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 0 + 0 times 1 = 0 & 0 0 & 0 = 0 por BA = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 times 1 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 0 0 times 1 + 0 times 0 & 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 0 + 1 times 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 :
Agora, multiplicando por :
Ainda não obtivemos .

Passo 12

Após várias tentativas, percebemos que encontrar um exemplo onde mas pode ser mais complexo e depende das dimensões das matrizes. No entanto, em matrizes quadradas de ordem 2, geralmente implica . Mas, em dimensões superiores ou em outros contextos algébricos, isso pode não ocorrer.

Resposta

A afirmação é verdadeira no caso de matrizes quadradas onde implica . Porém, em matrizes não quadradas ou em contextos específicos, pode haver casos onde mas . Portanto, a afirmação nem sempre é verdadeira.

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