Para a equação
, determine o tipo de superfície e descreva suas interseções com os planos coordenados.**
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
. O objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície geométrica essa equação representa e como ela intercepta os planos coordenados (como o plano xy, xz e yz). Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a identificação de quadriciais e o método de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície. Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em z. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma padrão conhecida.
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Vamos dividir todos os termos por 18 para simplificar a equação:
Simplificando as frações:
Passo 5
Analisando a equação padrão, percebemos que temos termos positivos e negativos, o que indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma ou duas folhas. Observando os sinais, vemos que temos um termo positivo e dois negativos, caracterizando um hiperboloide de duas folhas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as interseções com os planos coordenados:
-
Interseção com o plano xy (z = 0):Substituindo z = 0 na equação original:Dividindo por 9:Essa é a equação de um hiperbola no plano xy.
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Interseção com o plano xz (y = 0):Substituindo y = 0 na equação original:Completando o quadrado para z:Dividindo por 18:Essa é a equação de uma elipse no plano xz.
-
Interseção com o plano yz (x = 0):Substituindo x = 0 na equação original:Completa o quadrado para z:Dividindo por 18:Essa é a equação de uma hiperbola no plano yz.
Resposta
A equação
representa um hiperboloide de duas folhas. Suas interseções com os planos coordenados são:
- Plano xy: Hiperbola.
- Plano xz: Elipse.
- Plano yz: Hiperbola.