Para a equação 2 x^2-4 y^2+z^2+6 z=9, determine o tipo de superfície e descreva suas interseções com os planos coordenados.**

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação 2x^2 - 4y^2 + z^2 + 6z = 9. O objetivo aqui é descobrir que tipo de superfície geométrica essa equação representa e como ela intercepta os planos coordenados (como o plano xy, xz e yz). Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a identificação de quadriciais e o método de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície. Vamos agrupar os termos semelhantes:
2x^2 - 4y^2 + z^2 + 6z = 9

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em z. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma padrão conhecida.
z^2 + 6z = (z^2 + 6z + 9) - 9 = (z + 3)^2 - 9
Substituindo de volta na equação original:
2x^2 - 4y^2 + (z + 3)^2 - 9 = 9
Simplificando:
2x^2 - 4y^2 + (z + 3)^2 = 18

Passo 4

Vamos dividir todos os termos por 18 para simplificar a equação:
2x^218 - 4y^218 + (z + 3)^218 = 1
Simplificando as frações:
x^29 - y^24.5 + (z + 3)^218 = 1

Passo 5

Analisando a equação padrão, percebemos que temos termos positivos e negativos, o que indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma ou duas folhas. Observando os sinais, vemos que temos um termo positivo e dois negativos, caracterizando um hiperboloide de duas folhas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as interseções com os planos coordenados:
  • Interseção com o plano xy (z = 0):
    Substituindo z = 0 na equação original:
    2x^2 - 4y^2 + 0 + 0 = 9 Rightarrow 2x^2 - 4y^2 = 9
    Dividindo por 9:
    2x^29 - 4y^29 = 1
    Essa é a equação de um hiperbola no plano xy.
  • Interseção com o plano xz (y = 0):
    Substituindo y = 0 na equação original:
    2x^2 + z^2 + 6z = 9
    Completando o quadrado para z:
    2x^2 + (z + 3)^2 = 18
    Dividindo por 18:
    x^29 + (z + 3)^218 = 1
    Essa é a equação de uma elipse no plano xz.
  • Interseção com o plano yz (x = 0):
    Substituindo x = 0 na equação original:
    -4y^2 + z^2 + 6z = 9
    Completa o quadrado para z:
    -4y^2 + (z + 3)^2 = 18
    Dividindo por 18:
    -4y^218 + (z + 3)^218 = 1 Rightarrow -y^24.5 + (z + 3)^218 = 1
    Essa é a equação de uma hiperbola no plano yz.

Resposta

A equação 2x^2 - 4y^2 + z^2 + 6z = 9 representa um hiperboloide de duas folhas. Suas interseções com os planos coordenados são:
  • Plano xy: Hiperbola.
  • Plano xz: Elipse.
  • Plano yz: Hiperbola.

Exercícios relacionados